Deux ballons reliés, l'un chauffé

Application directe du cours · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 2 — Gaz parfait, énergie interne et phases condensées

Énoncé

Deux ballons rigides de volumes $V_{1} = 1, 0 L$ et $V_{2} = 2, 0 L$ sont reliés par un tube fin, de volume négligeable. Ils contiennent de l'air (gaz parfait), initialement à $T_{0} = 293 K$ sous $P_{0} = 1, 0 bar$ . On plonge le ballon 1 dans l'eau bouillante ( $T_{1} = 373 K$ ) en maintenant le ballon 2 à $T_{0}$ , et l'on attend que plus rien ne bouge.

1) Quel est le système ? Quelles grandeurs sont imposées par l'extérieur dans l'état final, et lesquelles sont conservées ? Justifier que la pression finale est la même dans les deux ballons. L'état final est-il un état d'équilibre thermodynamique ?

2) Exprimer la pression finale $P$ en fonction de $P_{0}$ , $T_{0}$ , $T_{1}$ , $V_{1}$ , $V_{2}$ ; la calculer.

3) Quelle fraction de l'air initialement contenu dans le ballon 1 est passée dans le ballon 2 ?

4) Cas limites : que devient $P$ si $V_{2} \to 0$ ? si $V_{2} \to \infty$ ? Interpréter chaque limite.

5) Dans un thermomètre à gaz, le ballon 1 est la sonde et le ballon 2 représente le « volume mort » du manomètre et des tuyaux, resté à température ambiante. Calculer la sensibilité $\frac{d P}{d T _{1}}$ au voisinage de $T_{1} = T_{0}$ . Pourquoi faut-il un volume mort aussi petit que possible ?

Corrigé

1) Système et contraintes. Système : tout l'air contenu dans les deux ballons et le tube. C'est un système fermé (les ballons sont étanches ; de l'air passe d'un ballon à l'autre, mais reste dans le système), de volume total fixé, qui échange de l'énergie avec les deux bains : il n'est pas isolé. Dans l'état final :

la température de chaque ballon est imposée par son bain : $T_{1}$ dans le ballon 1, $T_{0}$ dans le ballon 2 (parois diathermes, équilibre thermique de chaque ballon avec son bain) ;
les volumes sont imposés par les parois rigides ;
la quantité de matière totale est conservée : $n_{1} + n_{2} = n_{0}$ ;
la pression est commune : l'air du tube est immobile dans l'état final ; s'il existait une différence de pression entre les deux extrémités, elle mettrait l'air du tube en mouvement. L'équilibre mécanique impose donc la même pression $P$ dans les deux ballons (la pesanteur est négligée).

L'état final n'est pas un équilibre thermodynamique du système entier : la température n'y est pas uniforme, et de l'énergie traverse en permanence le système de l'eau bouillante vers le bain froid (par le tube, très peu, puisqu'il est fin). C'est un régime stationnaire. Chaque ballon, lui, est à l'équilibre, et c'est ce qui permet d'écrire l'équation d'état ballon par ballon. Le gaz du tube, de volume négligeable, ne compte pas.

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