Dulong et Petit ; l'océan et l'atmosphère

Exercice de TD · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 2 — Gaz parfait, énergie interne et phases condensées · E. Les phases condensées

Énoncé

La loi de Dulong et Petit (loi empirique énoncée en 1819, donnée ici) affirme que la capacité thermique molaire de la plupart des éléments solides, à température ambiante, est voisine de $3 R \approx 25 J K^{- 1} mo l^{- 1}$ . On donne les capacités thermiques massiques et les masses molaires de cinq métaux :

solide	Al	Cu	Fe	Ag	Pb
$c$ ( $J k g^{- 1} K^{- 1}$ )	897	385	449	235	129
$M$ ( $g mo l^{- 1}$ )	26,98	63,55	55,85	107,87	207,2

1) Calculer la capacité thermique molaire $C_{m} = c M$ de chaque métal, l'exprimer en unités de $R$ , et vérifier la loi de Dulong et Petit. Pourquoi les capacités massiques, elles, varient-elles d'un facteur sept ?

2) En déduire une estimation de la capacité thermique massique de l'or ( $M = 196, 97 g mo l^{- 1}$ ).

3) Calculer la capacité thermique molaire de l'eau liquide ( $c = 4, 18 kJ k g^{- 1} K^{- 1}$ , $M = 18, 0 g mo l^{- 1}$ ) en unités de $R$ . Comparer au nombre d'atomes de la molécule.

4) Ordre de grandeur climatique. La masse de la colonne d'atmosphère au-dessus d'un mètre carré de sol vaut $P_{0} / g$ , avec $P_{0} = 1, 013 \times 1 0^{5} Pa$ et $g = 9, 81 m s^{- 2}$ (le poids de la colonne équilibre la force pressante au sol) ; on prend $c_{air} \approx 1, 0 kJ k g^{- 1} K^{- 1}$ . Quelle hauteur d'eau a la même capacité thermique que cette colonne ? Conclure sur le rôle des océans.

5) Faut-il plus d'énergie pour chauffer de $1 K$ un litre d'eau ou un mètre cube d'air pris à volume constant ( $ρ = 1, 2 kg m^{- 3}$ , $c_{V} = 718 J k g^{- 1} K^{- 1}$ ) ?

Corrigé

1) Les capacités molaires. En multipliant $c$ par $M$ (en $kg mo l^{- 1}$ ) :

solide	Al	Cu	Fe	Ag	Pb
$C_{m}$ ( $J K^{- 1} mo l^{- 1}$ )	24,2	24,5	25,1	25,3	26,7
$C_{m} / R$	2,91	2,94	3,02	3,05	3,21

Les cinq valeurs sont à moins de $8 %$ de $3 R = 24, 9 J K^{- 1} mo l^{- 1}$ : la loi de Dulong et Petit est bien vérifiée. Les capacités massiques, elles, vont de $129$ à $897 J k g^{- 1} K^{- 1}$ , parce qu'un kilogramme de plomb contient sept fois moins d'atomes qu'un kilogramme d'aluminium ( $M$ est sept fois plus grande). La loi dit que ce qui compte pour stocker de l'énergie thermique dans un solide, c'est le nombre d'atomes, chacun prenant en moyenne la même part, $3 k_{B}$ par kelvin.

2) L'or. Si $C_{m} \approx 3 R$ , alors $c_{Au} \approx \frac{3 R}{M} = \frac{24 , 9}{0 , 19697} \approx 127 J k g^{- 1} K^{- 1}$ . La valeur tabulée est $129 J k g^{- 1} K^{- 1}$ : une loi empirique simple prévoit la capacité massique d'un métal à $2 %$ près, sans mesure.

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