Indilatable, mais la bouteille pleine éclate

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 2 — Gaz parfait, énergie interne et phases condensées · E. Les phases condensées

Énoncé

On caractérise la dilatabilité et la compressibilité d'un corps par le coefficient de dilatation isobare et le coefficient de compressibilité isotherme $α = \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial T})_{P}, χ_{T} = - \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial P})_{T} .$ Pour l'eau liquide vers $20^{\circ} C$ : $α = 2, 1 \times 1 0^{- 4} K^{- 1}$ , $χ_{T} = 4, 6 \times 1 0^{- 10} P a^{- 1}$ .

1) Calculer $α$ et $χ_{T}$ pour un gaz parfait, et les évaluer à $293 K$ sous $1, 0 bar$ . Comparer à l'eau.

2) Calculer la variation relative de volume de l'eau pour une surpression de $10 bar$ , puis pour un échauffement de $10 K$ . Justifier le modèle « incompressible et indilatable ».

3) Un récipient rigide est entièrement rempli d'eau liquide, puis fermé et chauffé de $Δ T = 10 K$ . On admet que, pour de petites variations, $\frac{d V}{V} = α d T - χ_{T} d P$ . Le volume étant bloqué, calculer l'augmentation de pression.

4) Même question pour le même récipient rempli d'air sous $1, 0 bar$ à $293 K$ . Commenter le paradoxe : c'est le corps « incompressible » qui produit la plus forte surpression.

5) À quoi servent le vase d'expansion d'un chauffage central et le volume d'air laissé dans une bouteille d'eau ? Que retenir sur ce que l'approximation « indilatable » autorise ?

Corrigé

1) Le gaz parfait. De $V = n R T / P$ : à $P$ fixé, $(\frac{\partial V}{\partial T})_{P} = \frac{n R}{P} = \frac{V}{T}$ , donc $α = \frac{1}{T}$ ; à $T$ fixé, $(\frac{\partial V}{\partial P})_{T} = - \frac{n R T}{P ^{2}} = - \frac{V}{P}$ , donc $χ_{T} = \frac{1}{P}$ . À $293 K$ et $1 bar$ : $α = 3, 4 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$ , seize fois celui de l'eau, et $χ_{T} = 1, 0 \times 1 0^{- 5} P a^{- 1}$ , vingt-deux mille fois celui de l'eau. Le liquide n'est pas « peu dilatable » au même degré qu'il est « peu compressible » : c'est surtout la compressibilité qui sépare un gaz d'un liquide.

2) Les variations de volume de l'eau. Pour de petites variations, $\frac{Δ V}{V} \approx - χ_{T} Δ P = - 4, 6 \times 1 0^{- 10} \times 1 0^{6} = - 4, 6 \times 1 0^{- 4}$ pour $10 bar$ , et $\frac{Δ V}{V} \approx α Δ T = 2, 1 \times 1 0^{- 3}$ pour $10 K$ . Un litre d'eau varie de $0, 5 mL$ sous dix bars et de $2 mL$ pour dix degrés : dans un bilan de masse ou d'énergie, on peut tenir le volume pour constant à mieux que quelques millièmes près. C'est la justification du modèle : $V$ cesse d'être une variable d'état utile.

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