La bouteille de plongée : raisonner en moles

Exercice de TD · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 2 — Gaz parfait, énergie interne et phases condensées · C. L'équation d'état du gaz parfait

Énoncé

Une bouteille de plongée rigide de volume $V_{b} = 12 L$ est gonflée en station à $P_{1} = 200 bar$ ; la compression l'a échauffée, et l'air qu'elle contient est alors à $θ_{1} = 40^{\circ} C$ . Le plongeur l'emporte dans une eau à $θ_{2} = 15^{\circ} C$ . L'air est assimilé à un gaz parfait.

1) Quelle est la pression dans la bouteille une fois l'air revenu à la température de l'eau ? Quelle quantité de matière d'air contient-elle ? Quel volume cet air occuperait-il à $1, 0 bar$ et $15^{\circ} C$ ?

2) Le détendeur délivre l'air à la pression ambiante $P_{a}$ qui règne autour du plongeur, et le plongeur ventile un volume d'environ $20 L$ par minute, quelle que soit la profondeur, l'air inspiré étant à la température de l'eau. Exprimer la quantité de matière consommée par minute en fonction de $P_{a}$ . On remonte quand le manomètre de la bouteille indique $50 bar$ (réserve de sécurité). Calculer l'autonomie en surface ( $P_{a} = 1, 0 bar$ ), puis à une profondeur où la pression ambiante vaut $P_{a} = 3, 0 bar$ (donnée), puis à $P_{a} = 4, 0 bar$ .

3) Un plongeur qui aurait lu $200 bar$ à la station et compté sa réserve à partir de cette valeur aurait-il surestimé ou sous-estimé son autonomie à $3, 0 bar$ ? De combien ?

4) Un document affirme : « la bouteille contient $200 \times 12 = 2400 L$ d'air ; à $3 bar$ , le plongeur consomme $60 L/min$ ; son autonomie est donc de $2400/60 = 40 min$ ». Trouver l'erreur, et donner la valeur correcte avec les mêmes données (sans réserve ni échauffement).

Corrigé

La stratégie. Ce qui se consomme en plongée, ce sont des molécules : le volume d'un gaz n'a de sens qu'accompagné de sa pression et de sa température. On convertit donc tout en quantité de matière, la seule grandeur qui se conserve ou se dépense, et l'on ne compare que des quantités de matière.

1) Le refroidissement. Système : l'air contenu dans la bouteille fermée, système fermé ; volume imposé par la paroi rigide ( $V_{b}$ ), température finale imposée par l'eau ( $T_{2} = 288 K$ ). Avec $n$ et $V$ fixés, $P / T$ est constant : $P_{2} = P_{1} \frac{T _{2}}{T _{1}} = 200 \times \frac{288}{313} \approx 184 bar .$ Elle a « perdu » $16 bar$ sans perdre une molécule. La quantité de matière vaut $n = \frac{P _{2} V _{b}}{R T _{2}} = \frac{184 \times 1 0 ^{5} \times 12 \times 1 0 ^{- 3}}{8 , 314 \times 288} \approx 92 mol,$ soit environ $2, 7 kg$ d'air ( $M = 29 g mo l^{- 1}$ ) — la bouteille pleine pèse près de trois kilogrammes de plus que la bouteille vide. À $1, 0 bar$ et $288 K$ , cet air occuperait $V = P_{2} V_{b} / (1, 0 bar) \approx 2, 2 \times 1 0^{3} L$ , soit $2, 2 m^{3}$ .

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Gratuit : il suffit de créer un compte (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe), et tu arrives directement sur le corrigé.

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.