Mélange de deux gaz dans une enceinte isolée

Exercice de TD · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 2 — Gaz parfait, énergie interne et phases condensées · D. Énergie interne et capacité thermique

Énoncé

Une enceinte rigide et calorifugée est séparée par une cloison en deux compartiments : (A) de volume $10 L$ , contenant $n_{A} = 1, 0 mol$ d'hélium à $T_{A} = 400 K$ ; (B) de volume $30 L$ , contenant $n_{B} = 2, 0 mol$ de diazote à $T_{B} = 300 K$ . Les deux gaz sont parfaits ; $U_{m} = \frac{3}{2} R T$ pour l'hélium, $U_{m} = \frac{5}{2} R T$ pour le diazote. On retire la cloison, et l'on attend l'équilibre. On admet que l'énergie interne d'un système isolé, au repos macroscopique, se conserve (ce sera une conséquence du premier principe).

1) Définir le système et la transformation. Pourquoi le système est-il isolé ? Pourquoi l'énergie interne du mélange est-elle la somme de celles des deux gaz ?

2) Exprimer la température finale $T_{f}$ ; la calculer et la comparer à la moyenne pondérée par les quantités de matière. Quel gaz « pèse » le plus dans la moyenne, et pourquoi ?

3) Vérifier que $T_{f}$ est comprise entre $T_{B}$ et $T_{A}$ . Dans quel cas $T_{f}$ serait-elle la moyenne pondérée par les quantités de matière ?

4) Calculer les pressions initiales des deux compartiments, la pression finale et les pressions partielles finales.

Corrigé

1) Système et transformation. Système : les deux gaz, hélium et diazote, contenus dans l'enceinte. Système fermé ; transformation de l'état initial (deux gaz séparés, chacun à l'équilibre, à $T_{A}$ et $T_{B}$ ) à l'état final (mélange homogène à l'équilibre). Le système est isolé : l'enceinte est rigide, donc aucune paroi extérieure ne bouge et il n'y a pas de travail des forces de pression extérieures ; elle est calorifugée, donc il n'y a pas de transfert thermique ; et elle est fermée. Retirer la cloison ne fournit pas d'énergie (on la suppose sans travail notable). L'énergie interne du mélange est la somme de celles des deux gaz parce que $U$ est extensive et que, dans le modèle du gaz parfait, les molécules n'interagissent pas, ni entre molécules de même espèce, ni entre espèces différentes : mélanger ne crée aucune énergie potentielle d'interaction. Chaque gaz garde son énergie interne $U_{m} (T)$ à sa température.

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