Pression cinétique et température cinétique

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 2 — Gaz parfait, énergie interne et phases condensées · B. La température cinétique

Énoncé

On modélise un gaz parfait monoatomique de $N$ atomes de masse $m$ dans un récipient cubique de volume $V$ ; on note $n^{*} = N / V$ . Modèle simple, assumé comme tel : toutes les molécules ont la même vitesse $u$ , et un sixième d'entre elles se déplace selon chacune des six directions $+ e_{x}$ , $- e_{x}$ , $+ e_{y}$ , $- e_{y}$ , $+ e_{z}$ , $- e_{z}$ ; les chocs sur les parois sont élastiques.

1) On considère un élément de paroi d'aire $S$ , perpendiculaire à $e_{x}$ , et la durée $d t$ . Combien de molécules frappent cet élément pendant $d t$ ? Par un bilan de quantité de mouvement sur le système fermé formé de ces molécules, montrer que la pression sur la paroi vaut $P = \frac{1}{3} n^{*} m u^{2}$ .

2) Sans le modèle des six faisceaux, on montre que la pression vaut $P = n^{*} m ⟨ v_{x}^{2} ⟩$ . Justifier ce résultat en reprenant le bilan pour le groupe des molécules qui ont une même vitesse, puis montrer, à l'aide de l'isotropie, qu'il coïncide avec celui du modèle simple.

3) L'expérience montre qu'à basse pression $P V = N k_{B} T$ , où $T$ est la température lue sur un thermomètre. En déduire $⟨ e_{c} ⟩ = \frac{1}{2} m u^{2} = \frac{3}{2} k_{B} T$ et $u = 3 R T / M$ . En quel sens cette relation définit-elle une température cinétique ?

4) En déduire l'énergie interne du gaz parfait monoatomique, $U = \frac{3}{2} n R T$ , et sa capacité thermique molaire à volume constant. Pourquoi ce raisonnement ne donne-t-il pas l'énergie interne d'un gaz diatomique ?

5) Mélange. Le gaz est un mélange de plusieurs espèces sans interaction, à la même température. Montrer que chaque espèce contribue à la pression comme si elle était seule : $P = \sum_{i} P_{i}$ avec $P_{i} = n_{i}^{*} k_{B} T$ (loi de Dalton). Quelle est la pression partielle du dioxygène dans l'air (21 % des molécules) sous $1, 0 bar$ ? Quelle est la densité moléculaire de l'air à $300 K$ sous $1, 0 bar$ ?

Corrigé

La stratégie. La pression est la force moyenne par unité de surface qu'exerce le gaz sur la paroi. Par la troisième loi de Newton, c'est l'opposé de la force que la paroi exerce sur les molécules, et celle-ci se lit sur la variation de leur quantité de mouvement. Le modèle des six faisceaux est grossier, et on le dit : son seul rôle est de rendre le comptage élémentaire.

1) Le comptage. Seules frappent la paroi d'abscisse $x = a$ les molécules du faisceau $+ e_{x}$ , soit une densité $n^{*} /6$ . Pendant $d t$ , une telle molécule parcourt $u d t$ ; celles qui atteignent la surface $S$ sont celles qui se trouvaient, au début de l'intervalle, dans le cylindre de base $S$ et de longueur $u d t$ (on néglige les collisions entre molécules pendant $d t$ , ce qui est légitime pour $d t$ petit). Leur nombre est $d N = \frac{n ^{*}}{6} S u d t .$ Le bilan. Système : ces $d N$ molécules, système fermé. Chaque choc élastique sur la paroi immobile retourne la vitesse : $u e_{x}$ devient $- u e_{x}$ , et la quantité de mouvement d'une molécule varie de $- 2 m u e_{x}$ . La variation totale vaut $- 2 m u d N e_{x}$ . D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à ce système, elle est égale à $F_{paroi \to gaz} d t$ ; par la troisième loi de Newton, la force du gaz sur la paroi est l'opposée : $F_{gaz \to paroi} = \frac{2 m u d N}{d t} e_{x} = \frac{2 m u n ^{*} S u}{6} e_{x} = \frac{1}{3} n^{*} m u^{2} S e_{x} .$ La force est normale à la paroi, dirigée vers l'extérieur, proportionnelle à $S$ : c'est bien une force pressante, et $P = \frac{1}{3} n^{*} m u^{2} .$ Homogénéité. $n^{*}$ en $m^{- 3}$ , $m u^{2}$ en joules : $P$ est en $J m^{- 3} = N m^{- 2}$ , une densité volumique d'énergie.

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