thermodynamique (MPSI) · Chapitre 2 · Application directe du cours

Séparer les isotopes de l'uranium

Gaz parfait, énergie interne et phases condensées · niveau 3 (difficile)

Énoncé

L'uranium naturel contient $0, 72 %$ (en nombre d'atomes) de l'isotope fissile $^{235} U$ , le reste étant de l' $^{238} U$ . Un réacteur à eau sous pression demande un uranium « enrichi » à $3, 5 %$ environ. Historiquement, on a enrichi par diffusion gazeuse : on fait traverser à un gaz contenant de l'uranium une paroi poreuse dont les pores sont plus petits que le libre parcours moyen ; on admet que le nombre de molécules d'une espèce qui traversent par unité de temps est proportionnel à sa densité moléculaire et à sa vitesse moyenne. Le gaz utilisé est l'hexafluorure d'uranium $U F_{6}$ : $M (^{235} U F_{6}) = 349, 0 g mo l^{- 1}$ , $M (^{238} U F_{6}) = 352, 0 g mo l^{- 1}$ . Le fluor naturel n'a qu'un isotope, $^{19} F$ .

1) Les deux espèces forment un mélange à la température $T$ . Pourquoi ont-elles la même énergie cinétique moyenne ? En déduire le rapport $u_{235} / u_{238}$ de leurs vitesses quadratiques moyennes, et l'ordre de grandeur de $u$ pour $U F_{6}$ à $300 K$ . On admet que le rapport des vitesses moyennes est le même que celui des vitesses quadratiques moyennes.

2) On note $r = \frac{x _{235}}{x _{238}}$ le rapport des abondances. Montrer que, pour un étage idéal, le gaz qui a traversé la paroi a un rapport $r^{'} = α r$ , et exprimer le facteur de séparation $α$ .

3) Combien d'étages idéaux en cascade faut-il pour passer de $0, 72 %$ à $3, 5 %$ ? Les usines réelles en alignaient bien davantage : pourquoi ?

4) Pourquoi le fluor convient-il, alors que le chlore (deux isotopes, $^{35} Cl$ et $^{37} Cl$ , en proportions comparables) ne conviendrait pas ? Pourquoi ne fait-on pas diffuser de la vapeur d'uranium, qui donnerait un meilleur facteur $238/235$ ?

Corrigé de la question 1

1) Même température, même énergie cinétique moyenne. Le mélange est à l'équilibre thermique : ses deux constituants ont la même température, et la température cinétique est la même fonction de l'énergie cinétique moyenne de translation pour toutes les espèces, $\frac{1}{2} m_{i} u_{i}^{2} = \frac{3}{2} k_{B} T$ . Donc $m_{235} u_{235}^{2} = m_{238} u_{238}^{2}$ , et comme les masses moléculaires sont proportionnelles aux masses molaires,

$\frac{u _{235}}{u _{238}} = \frac{M _{238}}{M _{235}} = \frac{352 , 0}{349 , 0} \approx 1, 0043.$

Les molécules légères vont plus vite de $0, 43 %$ seulement. Ordre de grandeur : $u = 3 R T / M = 3 \times 8, 314 \times 300/0, 352 \approx 146 m s^{- 1}$ , trois fois et demie moins que le diazote — c'est une molécule très lourde.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

J'ai voulu calculer la nouvelle fraction $x_{235}^{'}$ après la paroi, mais elle fait intervenir la somme des deux flux au dénominateur, et je n'obtiens pas un simple facteur multiplicatif.

C'est précisément pour cela que l'énoncé raisonne sur le rapport $r$ plutôt que sur la fraction. D'après l'hypothèse admise, à quoi le nombre de molécules de chaque espèce qui traversent par unité de temps est-il proportionnel ? Écris le rapport des deux flux.

Élève

Chaque flux est proportionnel à $n_{i}^{*} ⟨ v_{i} ⟩$ , avec le même coefficient pour les deux espèces. Dans le rapport, le coefficient disparaît et il reste le rapport des densités moléculaires, multiplié par celui des vitesses moyennes.

C'est cela, et le rapport des densités n'est autre que $r$ . Comment exprimer le rapport des vitesses moyennes à l'aide des masses molaires, d'après la question 1 ? Pourquoi ce facteur est-il le même à chaque étage ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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