$\Delta U$ se lit sur l'état

On considère $n=1,0\mathrm{mol}$ de gaz parfait diatomique, $U_m=\frac{5}{2}RT$ au voisinage de l'ambiante. Quatre états sont définis par leur pression et leur volume : $A$ $(1,0\mathrm{bar};10\mathrm{L})$, $B$ $(2,0\mathrm{bar};10\mathrm{L})$, $C$ $(2,0\mathrm{bar};20\mathrm{L})$, $D$ $(1,0\mathrm{bar};20\mathrm{L})$.

1) Montrer que, pour ce gaz, $U=\frac{C_{V,m}}{R}PV=\frac{5}{2}PV$ (à une constante additive près, choisie nulle). En déduire que $\Delta U$ se calcule sur les seules valeurs de $P$ et $V$ des états initial et final.

2) Calculer la température et l'énergie interne dans chacun des quatre états. Calculer $\Delta U$ de $A$ à $C$ en passant par $B$, puis en passant par $D$. Que vaut $\Delta U$ sur le cycle $ABCDA$ ?

3) Les états $B$ et $D$ ont-ils quelque chose en commun ? Un opérateur comprime le gaz de $D$ à $B$ en le maintenant à température constante (contact avec un thermostat). Que vaut $\Delta U$ ? Le gaz a pourtant reçu du travail de l'opérateur : où l'énergie est-elle passée ?

4) Pour un gaz réel, on donne l'énergie interne molaire d'un gaz de van der Waals : $U_m=C_{V,m}T-\frac{a}{V_m}$, avec pour le diazote $a=0,137\mathrm{Pa}{\mathrm{m}}^6\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-2}$. Une mole de diazote passe de $1,0\mathrm{L}$ à $10\mathrm{L}$ à température constante. Calculer $\Delta U$, et la variation de température qui produirait la même $\Delta U$ à volume fixé. $U$ est-elle encore une fonction d'état ? une fonction de $T$ seule ?