Adiabatique ou isotherme : une question de durée

Un gaz enfermé dans un cylindre métallique, brusquement comprimé, s'échauffe ; on mesure qu'il revient à la température ambiante avec un temps caractéristique $\tau \approx 20\mathrm{s}$ (temps au bout duquel l'écart de température a été divisé par $e\approx 2,7$).

1) Que représente $\tau$ ? Pourquoi est-il d'autant plus long que les parois conduisent mal la chaleur et que le volume de gaz est grand devant la surface des parois ?

2) Qualifier, en comparant leur durée à $\tau$, les compressions suivantes : un coup de pompe d'une demi-seconde ; une seringue bouchée qu'on enfonce régulièrement en une minute ; la même en dix minutes. Lesquelles peut-on modéliser comme adiabatiques, lesquelles comme isothermes ? Qu'est-ce qui est « monotherme » dans tous les cas ?

3) Dans un moteur Diesel tournant à $2000\mathrm{tr}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$, la compression dure un demi-tour. Calculer sa durée et conclure.

4) Le cours montre qu'à partir d'un même état, la courbe d'une transformation adiabatique quasi statique est plus pentue que l'isotherme dans le diagramme de Clapeyron. Pour une même réduction de volume, quelle compression demande le plus de travail ? Justifier par une aire, puis physiquement.

5) L'erreur de Newton. Newton calculait la vitesse du son dans l'air en supposant isothermes les compressions et détentes de l'onde, ce qui conduit à $c_N=\sqrt{RT/M}$. Calculer $c_N$ à $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ ($M=29,0\mathrm{g}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$) et comparer à la valeur mesurée $343\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

6) Pour un son de $1\mathrm{kHz}$, quelle est la durée d'une compression ? Quelle hypothèse aurait-il fallu faire ? Calculer $(343/c_N{)}^2$ et reconnaître ce nombre.