Travail et transferts thermiques

Cours complet · thermodynamique (MPSI), chapitre 4 · CPGE MPSI (1re année)

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Un système thermodynamique échange de l'énergie avec l'extérieur de deux façons : par le travail (transfert ordonné, lié aux forces de pression) et par le transfert thermique ou « chaleur » (transfert désordonné, lié à l'agitation microscopique). Ce chapitre précise le vocabulaire des transformations, calcule le travail des forces de pression et son interprétation graphique dans le diagramme de Clapeyron, puis décrit les transferts thermiques. C'est le préalable au premier principe (chapitre 5), qui en fera le bilan.

4.1 Transformations thermodynamiques

Définition 4.1Transformation et vocabulaire

Une transformation fait passer le système d'un état d'équilibre initial à un état d'équilibre final. On qualifie l'évolution selon la grandeur maintenue constante :

isochore : volume $V$ constant ;
isobare : pression $P$ du système constante ;
isotherme : température $T$ du système constante ;
monobare : pression extérieure $P_{ext}$ constante (équilibre mécanique avec l'extérieur aux états initial et final) ;
monotherme : température extérieure $T_{ext}$ constante (un thermostat).

Important

Distinguer iso et mono : « iso » signifie que la variable du système reste constante tout au long (transformation lente, dite quasi-statique) ; « mono » signifie que la variable extérieure est constante, le système n'étant à l'équilibre qu'aux extrémités.

4.2 Travail des forces de pression

Définition 4.2Travail élémentaire

Le travail élémentaire reçu par le système de la part des forces de pression extérieures, lors d'une variation $d V$ du volume, est

$δ W = - P_{ext} d V$

Pour une transformation quasi-statique (réversible), $P_{ext} \approx P$ et $δ W = - P d V$ , d'où $W = - \int_{V_{i}}^{V_{f}} P d V$ .

ImportantConvention de signe

$W > 0$ : travail reçu par le système (compression, $d V < 0$ ) ; $W < 0$ : travail fourni par le système (détente, $d V > 0$ ).

Proposition 4.3Cas usuels

$isochore monobare isotherme r e ˊ versible (GP) d V = 0 P_{ext} = cte W = 0, W = - P_{ext} (V_{f} - V_{i}) = - P_{ext} Δ V, W = - n R T ln \frac{V _{f}}{V _{i}} .$

Méthode : Interprétation géométrique

Pour une transformation réversible, $∣ W ∣$ est l'aire sous la courbe $P (V)$ dans le diagramme de Clapeyron $(P, V)$ . Le signe est donné par le sens de parcours : détente (vers les $V$ croissants) $\Rightarrow$ $W < 0$ .

Sur un cycle (retour à l'état initial), le travail total est l'aire enfermée par le cycle dans le diagramme de Clapeyron : négatif (travail fourni, moteur) si le cycle est parcouru dans le sens horaire, positif (récepteur) dans le sens trigonométrique.

Capacité numérique : Le travail dépend du chemin

On calcule le travail d'une même détente $A \to B$ (mêmes états) par deux chemins : isotherme réversible et monobare.


import numpy as np

n, R, T = 1.0, 8.314, 300.0
Vi, Vf = 1.0e-3, 3.0e-3        # m^3 (detente)

W_iso = -n * R * T * np.log(Vf / Vi)     # isotherme reversible
Pf = n * R * T / Vf                       # pression finale
W_mono = -Pf * (Vf - Vi)                  # monobare a P_ext = Pf

print("W isotherme reversible :", round(W_iso), "J")
print("W monobare (Pext = Pf) :", round(W_mono), "J")

Les deux valeurs diffèrent : le travail dépend du chemin suivi, pas seulement des états initial et final. (Ce n'est donc pas une fonction d'état.)

4.3 Les transferts thermiques

Définition 4.4Transfert thermique

Le transfert thermique $Q$ (ou « chaleur ») est l'énergie échangée par agitation microscopique, sans travail macroscopique. Comme le travail, il dépend du chemin suivi et se compte algébriquement ( $Q > 0$ : reçu par le système).

ImportantTrois modes de transfert

conduction : de proche en proche dans la matière, sans déplacement macroscopique (barre métallique chauffée) ;
convection : par déplacement de matière dans un fluide (air chaud qui monte, casserole) ;
rayonnement : par ondes électromagnétiques, sans support matériel (chaleur du Soleil, du feu).

Définition 4.5Adiabatique, thermostat

Une transformation est adiabatique si $Q = 0$ (parois calorifugées, ou évolution trop rapide pour échanger de la chaleur). Un thermostat (source de chaleur) est un système si grand que sa température reste constante malgré les échanges. Une transformation monotherme se fait au contact d'un thermostat ( $T_{ext} = T_{0}$ ) ; si elle est de plus lente, elle est isotherme ( $T = T_{0}$ à chaque instant).

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.4 Exercices résolus

Exercice 1 : Vocabulaire (

⋆

)

Qualifier : (a) un gaz chauffé dans un récipient rigide ; (b) une casserole d'eau à l'air libre chauffée doucement ; (c) un gaz comprimé brutalement dans une enceinte calorifugée.

Démonstration

(a) isochore (volume fixé). (b) monobare (pression atmosphérique extérieure constante). (c) adiabatique ( $Q = 0$ , parois calorifugées).

Exercice 2 : Travail isochore (

⋆

)

Que vaut le travail des forces de pression lors d'une transformation isochore ?

Démonstration

$d V = 0$ donc $δ W = - P_{ext} d V = 0$ : $W = 0$ . Aucun travail des forces de pression n'est échangé à volume constant.

Exercice 3 : Travail monobare (

⋆ ⋆

)

Un gaz se détend de $V_{i} = 1.0 L$ à $V_{f} = 3.0 L$ contre une pression extérieure constante $P_{ext} = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$ . Calculer le travail reçu.

Démonstration

$W = - P_{ext} Δ V = - 1, 0 \times 1 0^{5} \times (3, 0 - 1, 0) \times 1 0^{- 3} = - 200 J$ . $W < 0$ : le gaz fournit $200 J$ en se détendant.

Exercice 4 : Travail isotherme réversible (

⋆ ⋆

)

Une mole de gaz parfait se détend de façon isotherme réversible à $T = 300 K$ de $V_{i}$ à $V_{f} = 3 V_{i}$ . Calculer le travail.

Démonstration

$W = - n R T ln \frac{V _{f}}{V _{i}} = - 1 \times 8, 314 \times 300 \times ln 3 \approx - 2, 49 \times 1 0^{3} \times 1, 10 \approx - 2.7 \times 1 0^{3} J$ . Le gaz fournit $2.7 kJ$ .

Exercice 5 : Lecture graphique (

⋆ ⋆

)

Sur un cycle décrit dans le sens horaire dans le diagramme de Clapeyron, le travail total reçu sur un tour est-il positif ou négatif ?

Démonstration

Le travail total sur un cycle est l'opposé de l'aire algébrique enfermée. Pour un cycle parcouru dans le sens horaire, $W_{cycle} < 0$ : le système fournit du travail (c'est un cycle moteur, chapitre 7). Sens trigonométrique : $W_{cycle} > 0$ (récepteur).

Exercice 6 : Modes de transfert (

⋆ ⋆

)

Pour chaque situation, identifier le mode dominant : (a) cuillère qui chauffe dans une soupe ; (b) radiateur qui réchauffe une pièce ; (c) chaleur ressentie face à un feu.

Démonstration

(a) conduction (le long du métal). (b) convection (l'air chaud circule). (c) rayonnement (ondes infrarouges, ressenties même sans air chaud entre soi et le feu).

Exercice 7 : Adiabatique ou monotherme (

⋆ ⋆

)

Distinguer une transformation adiabatique d'une transformation monotherme.

Démonstration

Adiabatique : aucun transfert thermique ( $Q = 0$ ), parois calorifugées. Monotherme : le système échange de la chaleur avec un thermostat de température $T_{0}$ fixe (mais $Q \neq = 0$ en général). Les deux notions sont distinctes : l'une interdit l'échange thermique, l'autre l'autorise à température extérieure fixée.

Exercice 8 : Le travail dépend du chemin (

⋆ ⋆ ⋆

)

Comparer le travail reçu lors d'une détente $A \to B$ (mêmes états) suivie (a) d'un chemin isotherme réversible, (b) d'un chemin monobare à $P_{ext} = P_{B}$ . Conclure.

Démonstration

(a) $W_{iso} = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ ; (b) $W_{mono} = - P_{B} (V_{B} - V_{A})$ . Pour une détente d'un facteur $3$ (encadré numérique), $∣ W_{iso} ∣ \approx 2.7 kJ$ et $∣ W_{mono} ∣ \approx 1.7 kJ$ : différents. Le travail n'est pas une fonction d'état ; il dépend du chemin. (Il en va de même pour $Q$ .)

4.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Transformations : isochore ( $V$ ), isobare ( $P$ ), isotherme ( $T$ ), monobare ( $P_{ext}$ ), monotherme ( $T_{ext}$ ). « iso » = variable du système ; « mono » = variable extérieure.
Travail : $δ W = - P_{ext} d V$ ; réversible $W = - \int P d V$ = $-$ aire sous $P (V)$ . Isochore $W = 0$ ; monobare $W = - P_{ext} Δ V$ ; isotherme rév. GP $W = - n R T ln (V_{f} / V_{i})$ . Convention $W > 0$ reçu.
Transferts thermiques $Q$ : conduction, convection, rayonnement.
Adiabatique : $Q = 0$ . Thermostat : $T$ fixe ; monotherme ( $T_{ext}$ fixe), isotherme ( $T$ fixe partout).
$W$ et $Q$ dépendent du chemin (ce ne sont pas des fonctions d'état).

4.6 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Qualifier la transformation d'un gaz chauffé à pression atmosphérique constante.

( $⋆$ ) Travail reçu lors d'une compression monobare de $2 L$ à $0.5 L$ sous $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ .

( $⋆ ⋆$ ) Travail isotherme réversible pour comprimer $2 mol$ de GP de $V$ à $V /2$ à $300 K$ .

( $⋆ ⋆$ ) Représenter dans le diagramme de Clapeyron une transformation isobare puis une isochore, et indiquer le travail dans chaque cas.

( $⋆ ⋆$ ) Justifier que le travail d'un cycle est l'aire enfermée par le cycle (au signe près).

( $⋆ ⋆$ ) Citer le mode de transfert thermique dominant dans un thermos à double paroi sous vide.

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi une transformation très rapide est-elle souvent considérée comme adiabatique ?

( $⋆ ⋆$ ) Une transformation monobare est-elle nécessairement isobare ? Donner un contre-exemple.

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, comparer $W$ pour une détente d'un facteur $5$ (isotherme vs monobare).

( $⋆ ⋆$ ) Tracer deux chemins distincts entre deux mêmes états et comparer graphiquement les aires (donc les travaux).

( $⋆ ⋆$ ) Donner le signe de $W$ pour : compression, détente, cycle horaire, cycle trigonométrique.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Pour une détente, montrer que le travail fourni par le gaz est maximal pour une détente réversible (à états extrêmes fixés).

4.7 Problèmes contextualisés

Travail et transferts thermiques sont à l'œuvre dans la pompe à vélo, l'allumage d'un moteur Diesel, l'aérosol qui refroidit, l'isolation des maisons et les radiateurs.

Exemple 4.14La pompe à vélo qui chauffe (

⋆ ⋆

)

En gonflant un pneu, le corps de la pompe devient chaud.

En comprimant l'air, le travail reçu par le gaz est-il positif ou négatif ?
Le geste étant rapide, l'échange thermique avec l'extérieur a-t-il le temps de se faire ? Comment qualifie-t-on alors la transformation ?
Relier qualitativement le travail reçu à l'échauffement du gaz.

Démonstration

1. Compression $\Rightarrow d V < 0 \Rightarrow δ W = - P_{ext} d V > 0$ : le gaz reçoit du travail.

2. Un geste rapide ne laisse pas le temps aux échanges thermiques : la transformation est quasi adiabatique ( $Q \approx 0$ ).

3. Sans évacuation de chaleur, le travail reçu augmente l'énergie interne du gaz (chapitre 5), donc sa température : le gaz (et la pompe) chauffe.

Exemple 4.15L'allumage par compression (Diesel, briquet à air) (

⋆ ⋆

)

Dans un moteur Diesel, l'air est comprimé très fortement (rapport $\approx 20$ ) et rapidement avant l'injection du carburant ; aucune bougie n'est nécessaire.

Pourquoi la compression rapide est-elle quasi adiabatique ?
Qualitativement, pourquoi la température de l'air monte-t-elle assez pour enflammer le carburant ?
Le « briquet à air » (piston transparent qui enflamme un bout de coton) repose sur le même principe : lequel ?

Démonstration

1. La compression est trop rapide pour que la chaleur s'évacue à travers les parois : $Q \approx 0$ , transformation adiabatique.

2. Tout le travail reçu (compression, $W > 0$ ) sert à augmenter l'énergie interne (pas d'évacuation thermique) : la température grimpe fortement (plusieurs centaines de $^{\circ} C$ ), au-delà du point d'auto-inflammation du gazole.

3. La compression adiabatique échauffe l'air assez pour enflammer le coton : même physique que le Diesel, sans étincelle.

Exemple 4.16La bombe aérosol qui refroidit (

⋆ ⋆

)

Quand on vide une bombe aérosol, le corps métallique devient froid.

En sortant, le gaz se détend rapidement : le travail qu'il fournit est-il positif ou négatif (du point de vue du gaz) ?
La détente étant rapide (adiabatique), d'où vient l'énergie du travail fourni ?
Conclure sur la variation de température du gaz.

Démonstration

1. Détente $\Rightarrow d V > 0 \Rightarrow W < 0$ : le gaz fournit du travail (en repoussant l'air extérieur).

2. Adiabatique ( $Q \approx 0$ ) : l'énergie du travail fourni est prélevée sur l'énergie interne du gaz (rien ne vient compenser de l'extérieur).

3. L'énergie interne diminuant, la température chute : le gaz (et la bombe) refroidit.

Exemple 4.17L'isolation d'une maison (

⋆ ⋆ ⋆

)

Le flux thermique traversant un mur par conduction vaut $Φ = \frac{λ S Δ T}{e}$ ( $λ$ : conductivité, $S$ : surface, $e$ : épaisseur). On compare un mur de brique ( $λ_{b} = 1.0 W / m / K$ ) et une couche de laine de verre ( $λ_{l} = 0.040 W / m / K$ ), pour $S = 100 m^{2}$ , $e = 0.20 m$ , $Δ T = 20 K$ .

Calculer le flux à travers le mur de brique seul.
Calculer le flux à travers la même épaisseur de laine de verre.
Conclure sur l'intérêt de l'isolant.

Démonstration

1. $Φ_{b} = \frac{1 , 0 \times 100 \times 20}{0 , 20} = 1.0 \times 1 0^{4} W$ : $10 kW$ de pertes !

2. $Φ_{l} = \frac{0 , 040 \times 100 \times 20}{0 , 20} = 400 W$ .

3. L'isolant divise les pertes par $λ_{b} / λ_{l} = 25$ : la conductivité faible de la laine (emprisonnant de l'air) réduit drastiquement la conduction.

Exemple 4.18Le double vitrage (

⋆ ⋆

)

Un double vitrage est constitué de deux vitres séparées par une lame d'air immobile ( $λ_{air} = 0.025 W / m / K$ , contre $λ_{verre} = 1.0 W / m / K$ ).

Pourquoi l'air immobile est-il un bon isolant ?
Pour une lame d'air de $16 mm$ , comparer sa « résistance » thermique $e / λ$ à celle d'une vitre de $4 mm$ .
Pourquoi l'air doit-il rester immobile (lame mince) ?

Démonstration

1. L'air a une conductivité $\approx 40$ fois plus faible que le verre : il conduit très peu la chaleur (à condition de ne pas circuler).

2. Lame d'air : $e / λ = 0, 016/0, 025 = 0.64 m^{2} K / W$ . Vitre : $0, 004/1, 0 = 0.004$ : la lame d'air isole $\approx 160$ fois mieux que la vitre.

3. Si la lame est trop épaisse, l'air circule (convection) et transporte la chaleur : on perd l'effet isolant. D'où une lame mince où l'air reste quasi immobile.

Exemple 4.19Radiateur et convection (

⋆ ⋆

)

Un radiateur d'appartement est placé en bas d'un mur, souvent sous une fenêtre.

Quel mode de transfert thermique chauffe principalement la pièce ?
Décrire le mouvement de l'air (cellule de convection).
Pourquoi le placer en bas, et non au plafond ?

Démonstration

1. Le radiateur chauffe l'air à son contact, qui circule : c'est la convection (avec une part de rayonnement).

2. L'air chauffé se dilate, devient moins dense et monte ; il se refroidit au plafond, redescend le long des murs froids : une cellule de convection brasse la pièce.

3. En bas, l'air chaud monte et balaie toute la hauteur. Au plafond, l'air chaud y resterait (il ne descend pas) : la pièce ne se réchaufferait pas.

Exemple 4.20Le travail moteur d'un cycle (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un gaz décrit un cycle rectangulaire dans le diagramme de Clapeyron : de $A (V_{1}, P_{1})$ à $B (V_{2}, P_{1})$ (isobare haute), $B \to C (V_{2}, P_{2})$ (isochore), $C \to D (V_{1}, P_{2})$ (isobare basse), $D \to A$ (isochore). Données : $V_{1} = 1.0 L$ , $V_{2} = 3.0 L$ , $P_{1} = 3.0 bar$ , $P_{2} = 1.0 bar$ .

Calculer le travail reçu sur chacune des quatre étapes.
En déduire le travail total sur le cycle. Le système est-il moteur ?
Relier $∣ W_{cycle} ∣$ à l'aire du rectangle.

Démonstration

1. $A \to B$ (isobare $P_{1}$ , détente) : $W_{A B} = - P_{1} Δ V = - 3, 0 \times 1 0^{5} \times 2, 0 \times 1 0^{- 3} = - 600 J$ . $B \to C$ (isochore) : $W_{B C} = 0$ . $C \to D$ (isobare $P_{2}$ , compression) : $W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = - 1, 0 \times 1 0^{5} \times (- 2, 0 \times 1 0^{- 3}) = + 200 J$ . $D \to A$ (isochore) : $W_{D A} = 0$ .

2. $W_{cycle} = - 600 + 0 + 200 + 0 = - 400 J$ : négatif, le système fournit du travail $\Rightarrow$ cycle moteur (parcouru dans le sens horaire).

3. $∣ W_{cycle} ∣ = (P_{1} - P_{2}) (V_{2} - V_{1}) = 2, 0 \times 1 0^{5} \times 2, 0 \times 1 0^{- 3} = 400 J$ : c'est exactement l'aire du rectangle.

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