Compression brutale ou quasi statique

Exercice de TD · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 4 — Travail et transferts thermiques · B. Travail des forces de pression

Énoncé

Un gaz parfait est enfermé dans un cylindre diatherme au contact d'un thermostat à $T_{0}$ , sous un piston sans masse mobile sans frottement ; l'état initial est $(P_{0}, V_{0}, T_{0})$ avec $n R T_{0} = P_{0} V_{0} = 100 J$ (par exemple $1, 0 L$ sous $1, 0 bar$ ). On veut porter la pression du gaz à $k P_{0}$ , avec $k > 1$ , la température finale étant $T_{0}$ .

1) Compression brutale : on pose d'un coup sur le piston la charge qui impose $P_{ext} = k P_{0}$ . Montrer que $W_{brut} = n R T_{0} (k - 1)$ .

2) Compression quasi statique : on ajoute la charge grain à grain, assez lentement pour que le gaz reste à chaque instant en équilibre mécanique et à la température $T_{0}$ . Montrer que $W_{qs} = n R T_{0} ln k$ . Représenter les deux chemins dans le diagramme de Clapeyron $(P, V)$ et lire chaque travail comme une aire.

3) Démontrer que $W_{brut} \geq W_{qs}$ pour tout $k \geq 1$ , avec égalité seulement pour $k = 1$ . Application numérique pour $k = 2$ , $5$ et $10$ .

4) Détentes de $k P_{0}$ à $P_{0}$ , brutale (on retire d'un coup la charge) puis quasi statique : montrer que $∣ W_{brut} ∣ = n R T_{0} (1 - 1/ k) \leq ∣ W_{qs} ∣ = n R T_{0} ln k$ . Application pour $k = 2$ et $k = 3$ . Énoncer la conclusion commune aux questions 3 et 4.

5) On enchaîne une compression brutale et une détente brutale : le gaz revient à son état initial. Calculer le travail total reçu par le gaz sur ce cycle et commenter son signe. Même question en quasi statique.

Corrigé

La stratégie. On définit le système — le gaz, fermé — et la transformation : état initial $(P_{0}, V_{0}, T_{0})$ , état final $(k P_{0}, V_{0} / k, T_{0})$ , fixé par l'équilibre mécanique (charge) et l'équilibre thermique (thermostat). Les deux chemins ont les mêmes extrémités. Pour chacun, on applique $δ W = - P_{ext} d V$ avec la pression extérieure que ce chemin impose.

1) Compression brutale. Pendant toute la descente du piston, la pression extérieure vaut $k P_{0}$ , constante : transformation monobare. Le volume final vaut $V_{0} / k$ (même $n$ , même $T_{0}$ , pression $k$ fois plus grande). Donc $W_{brut} = - k P_{0} (\frac{V _{0}}{k} - V_{0}) = P_{0} V_{0} (k - 1) = n R T_{0} (k - 1) .$

2) Compression quasi statique. À chaque instant le gaz est en équilibre mécanique ( $P_{ext} = P$ ) et à $T_{0}$ , donc $P = n R T_{0} / V$ : $W_{qs} = - \int_{V_{0}}^{V_{0} / k} \frac{n R T _{0}}{V} d V = - n R T_{0} ln \frac{V _{0} / k}{V _{0}} = n R T_{0} ln k .$ Dans le diagramme de Clapeyron, les deux chemins partent du même point et arrivent au même point, en allant vers la gauche (compression, $W > 0$ ). Le chemin quasi statique suit l'hyperbole isotherme $P V = n R T_{0}$ ; $W_{qs}$ est l'aire sous cette hyperbole entre $V_{0} / k$ et $V_{0}$ . Le chemin brutal n'est pas une courbe du diagramme, puisque la pression du gaz n'est pas définie pendant la compression ; mais son travail est l'aire du rectangle de hauteur $k P_{0}$ (la pression extérieure) et de base $V_{0} - V_{0} / k$ . L'hyperbole reste sous la droite $P = k P_{0}$ sur tout l'intervalle : le rectangle contient l'aire sous l'hyperbole.

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