Découper en $N$ étapes : le quasi statique comme limite

Application directe du cours · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 4 — Travail et transferts thermiques

Énoncé

Un gaz parfait est enfermé dans un cylindre diatherme au contact d'un thermostat à $T_{0}$ , sous un piston sans masse mobile sans frottement ; l'état initial est $(P_{0}, V_{0}, T_{0})$ avec $n R T_{0} = P_{0} V_{0} = 100 J$ . On rappelle que la compression brutale (charge posée d'un coup, $P_{ext} = k P_{0}$ ) jusqu'à $k P_{0}$ , avec $k > 1$ , coûte $W_{brut} = n R T_{0} (k - 1)$ , et la compression quasi statique isotherme $W_{qs} = n R T_{0} ln k$ . On porte la pression de $P_{0}$ à $k P_{0}$ en $N$ étapes : à l'étape $j$ ( $1 \leq j \leq N$ ), on ajoute d'un coup une charge qui fait passer la pression extérieure de $P_{j - 1}$ à

$P_{j} = P_{0} (1 + j \frac{k - 1}{N}),$

puis on attend que le gaz soit revenu à l'équilibre mécanique et thermique.

1) Quelle est la nature de chaque étape ? Calculer le travail $W_{j}$ reçu au cours de l'étape $j$ et montrer que

$W_{N} = n R T_{0} j = 1 \sum N \frac{P _{j} - P _{j - 1}}{P _{j - 1}} .$

2) Représenter le chemin dans le diagramme de Clapeyron pour $N = 4$ et interpréter $W_{N}$ comme une aire.

3) Reconnaître une somme de Riemann et montrer que $W_{N} \to n R T_{0} ln k$ quand $N \to + \infty$ .

4) Justifier que $W_{N} \geq n R T_{0} ln k$ pour tout $N$ .

5) (Python, facultatif.) Calculer $W_{N}$ pour $k = 2$ et $N = 1, 2, 5, 10, 100$ . Combien de marches faut-il pour que $W_{N}$ dépasse $W_{qs}$ de moins de 1 % ? Vérifier que $N (W_{N} - W_{qs})$ tend vers $n R T_{0} \frac{( k - 1 ) ^{2}}{2 k}$ .

6) Conclure : en quel sens une transformation quasi statique est-elle « une suite d'états d'équilibre » ?

Corrigé

La stratégie. Le programme demande d'« évaluer un travail par découpage en travaux élémentaires et sommation sur un chemin donné ». On découpe donc la transformation en $N$ étapes dont chacune est un cas connu (monobare), on somme, et l'on fait tendre $N$ vers l'infini.

1) Une étape. Le système est le gaz. Pendant l'étape $j$ , la pression extérieure vaut $P_{j}$ , constante : l'étape est monobare, et monotherme (thermostat). Elle part de l'état d'équilibre $(P_{j - 1}, V_{j - 1}, T_{0})$ et aboutit à l'état d'équilibre $(P_{j}, V_{j}, T_{0})$ , avec $V_{j} = n R T_{0} / P_{j}$ . Donc

$W_{j} = - P_{j} (V_{j} - V_{j - 1}) = - P_{j} (\frac{n R T _{0}}{P _{j}} - \frac{n R T _{0}}{P _{j - 1}}) = n R T_{0} \frac{P _{j} - P _{j - 1}}{P _{j - 1}} .$

Le travail total est la somme des travaux reçus sur les étapes successives, d'où la formule annoncée. Vérification : pour $N = 1$ , on retrouve $W_{1} = n R T_{0} (k - 1)$ , la compression brutale.

2) L'escalier. Dans le diagramme $(P, V)$ , les états d'équilibre intermédiaires $(V_{j}, P_{j})$ sont sur l'hyperbole isotherme. Chaque étape a pour travail l'aire d'un rectangle de hauteur $P_{j}$ (la nouvelle pression extérieure) et de base $V_{j - 1} - V_{j}$ . Pour $N = 4$ et $k = 2$ , les pressions extérieures sont $1, 25$ , $1, 5$ , $1, 75$ et $2 P_{0}$ ; les rectangles forment un escalier dont chaque marche touche l'hyperbole par son coin supérieur gauche et la déborde ailleurs. $W_{N}$ est l'aire sous l'escalier.

3) La limite. Posons $p = P / P_{0}$ , $p_{j} = 1 + j h$ avec $h = (k - 1) / N$ . Alors

$W_{N} = n R T_{0} j = 1 \sum N \frac{h}{p _{j - 1}},$

qui est la somme de Riemann « à gauche » de la fonction continue $p \mapsto 1/ p$ sur $[1, k]$ , de pas $h$ . Quand $N \to + \infty$ , elle tend vers l'intégrale :

$W_{N} ⟶ n R T_{0} \int_{1}^{k} \frac{d p}{p} = n R T_{0} ln k = W_{qs} .$

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