Détente dans le vide, remplissage d'un réservoir : choisir le système

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 4 — Travail et transferts thermiques · A. Transformations thermodynamiques

Énoncé

A. Détente dans le vide. Un récipient rigide et calorifugé est partagé par une cloison en deux compartiments de même volume $V$ ; l'un contient un gaz, l'autre est vide. On perce la cloison ; le gaz occupe finalement tout le récipient.

1) Un élève écrit : « le volume du gaz passe de $V$ à $2 V$ , donc $W = - \int P d V < 0$ . » Où est l'erreur ? Quel système choisir, quelle est sa frontière, et quelle pression extérieure s'exerce sur la partie mobile de cette frontière ? Conclure.

2) On choisit maintenant comme système le seul gaz contenu initialement dans le compartiment de gauche et qui y reste à la fin. Pourquoi ce choix est-il malcommode ?

B. Remplissage d'un réservoir vide. Un réservoir rigide de volume $V_{r} = 10, 0 L$ , vide, est relié à l'atmosphère ( $P_{0} = 1, 00 bar$ , $T_{0} = 300 K$ ) par un robinet. On ouvre le robinet ; l'air entre jusqu'à ce que la pression intérieure atteigne $P_{0}$ .

3) Le réservoir est un système ouvert : de la matière en traverse la frontière. Définir un système fermé adapté : l'air qui se trouvera finalement dans le réservoir, considéré à l'instant initial là où il est, c'est-à-dire dans une portion d'atmosphère de volume $V_{0}$ voisine du robinet. Décrire sa frontière à l'instant initial et à l'instant final.

4) Quelles forces de pression travaillent sur ce système, et sous quelle pression ? Montrer que $W = P_{0} V_{0}$ . Pourquoi ce travail est-il positif ?

5) Le réservoir est diatherme et le remplissage lent : la température finale de l'air dans le réservoir est $T_{0}$ . Calculer la quantité d'air entrée, $V_{0}$ et $W$ .

6) Le réservoir est maintenant calorifugé et le remplissage rapide. Le système fermé et l'expression de $W$ changent-ils ? Que manque-t-il pour calculer $W$ ?

Corrigé

La stratégie. Le travail des forces de pression n'est pas une propriété du gaz : c'est l'énergie que l'extérieur fournit au système en déplaçant la frontière. Il faut donc d'abord dessiner la frontière d'un système fermé, repérer quelles portions de cette frontière bougent, et écrire, sur ces portions seulement, $δ W = - P_{ext} d V$ , où $P_{ext}$ est la pression qui s'exerce de l'extérieur sur elles.

1) La détente dans le vide. L'erreur est double. D'abord, la formule $δ W = - P d V$ suppose une transformation quasi statique ; ici, le gaz se rue dans le vide, il n'a pas de pression définie pendant la détente. Ensuite, et surtout, le travail se calcule avec la pression extérieure. Choisissons comme système tout le gaz, et comme frontière la paroi intérieure du récipient. Cette frontière est fixe (récipient rigide) : aucune portion ne se déplace, donc $δ W = 0$ à chaque instant et $W = 0.$ On peut aussi raisonner sur la frontière « mobile » qu'est la surface du gaz qui avance dans le compartiment vide : la pression extérieure qui s'y exerce est celle du vide, $P_{ext} = 0$ , et l'on retrouve $δ W = - 0 \times d V = 0$ . Les deux points de vue concordent : personne ne pousse ni ne retient le gaz, aucune énergie n'est échangée sous forme de travail. Le volume du gaz augmente, et pourtant il ne fournit aucun travail : un travail est un échange avec l'extérieur, pas une conséquence automatique d'une variation de volume.

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