Le travail d'un cycle est l'aire enfermée : application au cycle de Stirling

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 4 — Travail et transferts thermiques · B. Travail des forces de pression

Énoncé

Un fluide décrit un cycle : il revient à son état initial. Toutes les étapes sont quasi statiques.

1) Le cycle est formé, entre $V_{min}$ et $V_{max}$ , d'une branche haute $P_{h} (V)$ parcourue dans le sens des $V$ croissants et d'une branche basse $P_{b} (V)$ parcourue en sens inverse, avec $P_{h} > P_{b}$ . Montrer que $W_{cycle} = - \int_{V_{min}}^{V_{max}} (P_{h} (V) - P_{b} (V)) d V .$ Conclure sur le signe de $W_{cycle}$ , sur sa valeur absolue et sur le lien avec le sens de parcours dans le diagramme de Clapeyron.

2) Vérifier ce résultat sur un cycle rectangulaire : $A (V_{1}, P_{1}) \to B (V_{2}, P_{1})$ isobare, $B \to C (V_{2}, P_{2})$ isochore, $C \to D (V_{1}, P_{2})$ isobare, $D \to A$ isochore, avec $V_{1} = 1, 0 L$ , $V_{2} = 3, 0 L$ , $P_{1} = 3, 0 bar$ , $P_{2} = 1, 0 bar$ .

3) Un cycle se recoupe en dessinant un « huit ». Montrer que son travail est la somme des contributions des deux boucles, chacune comptée avec le signe de son sens de parcours. Que se passe-t-il si les deux boucles ont la même aire ?

4) Cycle de Stirling idéal. $n$ moles de gaz parfait subissent une détente isotherme à $T_{c}$ de $V_{1}$ à $V_{2}$ , un refroidissement isochore jusqu'à $T_{f} < T_{c}$ , une compression isotherme à $T_{f}$ de $V_{2}$ à $V_{1}$ , un réchauffement isochore jusqu'à $T_{c}$ . Calculer le travail reçu au cours de chaque étape et en déduire $W_{cycle} = - n R (T_{c} - T_{f}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .$ Retrouver ce résultat par la question 1.

5) Application à un petit moteur : $n = 1, 0 \times 1 0^{- 2} mol$ , $T_{c} = 600 K$ , $T_{f} = 300 K$ , $V_{1} = 0, 10 L$ , $V_{2} = 2 V_{1}$ , 25 cycles par seconde. Calculer $W_{cycle}$ , la puissance mécanique fournie, et les pressions extrêmes. Décrire l'allure du cycle dans le diagramme de Clapeyron.

6) On représente le même cycle dans le diagramme $(V, T)$ : c'est un rectangle. Son aire est-elle un travail ? Quelle propriété du diagramme de Clapeyron fait de l'aire un travail ?

Corrigé

Le système et le cadre. Le système est le fluide enfermé, système fermé. Toutes les étapes étant quasi statiques, le fluide est à chaque instant en équilibre mécanique, sa pression est définie et $δ W = - P d V$ : chaque étape est une courbe du diagramme de Clapeyron, et le cycle une courbe fermée.

1) Le théorème de l'aire. Le cycle se découpe en deux étapes. Sur la branche haute, parcourue de $V_{min}$ à $V_{max}$ : $W_{h} = - \int_{V_{min}}^{V_{max}} P_{h} d V$ . Sur la branche basse, parcourue de $V_{max}$ à $V_{min}$ : $W_{b} = - \int_{V_{max}}^{V_{min}} P_{b} d V = + \int_{V_{min}}^{V_{max}} P_{b} d V$ . En ajoutant : $W_{cycle} = W_{h} + W_{b} = - \int_{V_{min}}^{V_{max}} (P_{h} - P_{b}) d V .$ Comme $P_{h} > P_{b}$ , l'intégrale est positive : c'est l'aire $A$ enfermée par le cycle, comprise entre les deux branches. Dans ce sens de parcours — détente par le haut, compression par le bas, donc sens horaire dans le diagramme $(P, V)$ — on obtient $W_{cycle} = - A < 0$ : le fluide fournit du travail, le cycle est moteur. Si l'on parcourt le même cycle en sens trigonométrique (détente par le bas, compression par le haut), tous les travaux changent de signe : $W_{cycle} = + A > 0$ , le cycle est récepteur (réfrigérateur, pompe à chaleur). En valeur absolue, le travail d'un cycle est l'aire qu'il enferme.

2) Le cycle rectangulaire. $A \to B$ , isobare à $P_{1}$ (détente) : $W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - 3, 0 \times 1 0^{5} \times 2, 0 \times 1 0^{- 3} = - 600 J$ . $B \to C$ , isochore : $W_{B C} = 0$ . $C \to D$ , isobare à $P_{2}$ (compression) : $W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = + 200 J$ . $D \to A$ , isochore : $W_{D A} = 0$ . Total : $W_{cycle} = - 400 J$ . L'aire du rectangle vaut $(P_{1} - P_{2}) (V_{2} - V_{1}) = 2, 0 \times 1 0^{5} \times 2, 0 \times 1 0^{- 3} = 400 J$ , et le cycle est parcouru dans le sens horaire (en haut vers la droite) : $W_{cycle} = - A$ , conforme au théorème. Le moteur gagne parce qu'il se détend sous $3 bar$ et se recomprime sous $1 bar$ : il rend à la détente plus qu'il ne paie à la compression.

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