Le travail du palier

Application directe du cours · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 4 — Travail et transferts thermiques

Énoncé

Un cylindre fermé par un piston mobile sans frottement, soumis à la pression extérieure constante $P_{ext} = P_{s} (100^{\circ} C) = 1, 014 bar$ , contient $m = 1, 00 kg$ d'eau liquide saturante à $100^{\circ} C$ . On chauffe très lentement jusqu'à vaporisation complète. Données à $100^{\circ} C$ : $v_{L} = 1, 043 \times 1 0^{- 3} m^{3} k g^{- 1}$ , $v_{V} = 1, 672 m^{3} k g^{- 1}$ ; $M = 18, 0 g mo l^{- 1}$ .

1) Représenter la transformation dans le diagramme de Clapeyron. Montrer qu'elle est à la fois isotherme et isobare. Est-ce possible pour un gaz parfait ?

2) Calculer le travail reçu par l'eau.

3) Montrer que, $v_{L}$ étant négligeable devant $v_{V}$ et la vapeur saturante proche d'un gaz parfait, $W \approx - m R T / M$ . Évaluer l'erreur commise et en donner la cause.

4) L'eau fournit du travail, et pourtant il a fallu la chauffer pour la vaporiser. Un élève en conclut que « le travail fourni est l'énergie de vaporisation ». Que lui répondre ?

5) On poursuit le chauffage de la vapeur, toujours sous $P_{ext}$ , jusqu'à $200^{\circ} C$ . Calculer le travail reçu, la vapeur étant traitée en gaz parfait.

Corrigé

La stratégie. Le système est l'eau (liquide et vapeur), système fermé. Le chauffage est lent et le piston sans frottement : la transformation est quasi statique, la pression de l'eau égale à chaque instant $P_{ext}$ . Le chapitre sur le corps pur diphasé dit alors où se trouve le point représentatif.

1) Le palier. Tant que liquide et vapeur coexistent, la pression et la température sont liées par $P = P_{s} (T)$ . La pression étant imposée à $1, 014 bar$ , la température reste à $100^{\circ} C$ : la transformation est isobare et isotherme. Dans le diagramme de Clapeyron (en volume massique), le point représentatif parcourt le palier horizontal de $L$ (liquide saturant, $v_{L}$ ) à $V$ (vapeur saturante, $v_{V}$ ), le titre en vapeur passant de $0$ à $1$ . Pour un gaz parfait, c'est impossible : $P V = n R T$ à $P$ et $T$ fixés impose $V$ fixé. Le corps diphasé, lui, change de volume à $P$ et $T$ constants en changeant sa composition.

2) Le travail. Pression extérieure constante, transformation monobare :

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