Où s'arrête le piston ?

Exercice de TD · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 4 — Travail et transferts thermiques · A. Transformations thermodynamiques

Énoncé

A. Une masse posée sur le piston. Un cylindre vertical à parois diathermes, plongé dans l'atmosphère (pression $P_{0} = 1, 00 bar$ , température $T_{0} = 300 K$ ), est fermé par un piston de masse $M = 2, 0 kg$ et de section $S = 20 c m^{2}$ , mobile sans frottement. Le gaz enfermé, assimilé à un gaz parfait, occupe à l'équilibre le volume $V_{i} = 1, 0 L$ . On pose brusquement sur le piston une masse $m = 18 kg$ ; le piston oscille, puis s'immobilise.

1) Définir le système. Calculer la pression initiale $P_{i}$ du gaz.

2) Quelles grandeurs sont imposées par l'extérieur pendant la transformation ? La qualifier (préfixe « iso » ou « mono ») en justifiant. Est-elle isobare ?

3) Déterminer l'état final $(P_{f}, T_{f}, V_{f})$ et le déplacement du piston.

4) Calculer le travail reçu par le gaz. On pourra appliquer le théorème de l'énergie cinétique au piston chargé, immobile au début et à la fin.

5) On recommence avec un cylindre et un piston calorifugés. Quelles grandeurs de l'état final peut-on encore déterminer ? Laquelle ne le peut pas avec les seuls outils de ce chapitre ?

B. Deux compartiments. Un cylindre rigide de volume total $V = 40 L$ , en contact avec un thermostat à $T_{0} = 300 K$ , est séparé par un piston en deux compartiments contenant respectivement $n_{1} = 1, 0 mol$ et $n_{2} = 3, 0 mol$ de gaz parfait. Le piston est d'abord bloqué au milieu.

6) Calculer les pressions initiales. On débloque le piston, qui est diatherme et glisse sans frottement. Écrire les conditions d'équilibre final et en déduire les volumes et la pression finale.

7) Que peut-on dire de l'état final si le piston est mobile mais calorifugé, le cylindre étant lui aussi calorifugé ? S'il est diatherme mais bloqué ?

Corrigé

La stratégie. On ne cherche pas à suivre ce qui se passe pendant la transformation — les oscillations du piston, les remous du gaz : c'est impossible et inutile. On écrit ce que l'extérieur impose à l'état final, qui est un état d'équilibre : l'équilibre mécanique fixe la pression, l'équilibre thermique (s'il peut s'établir) fixe la température, et l'équation d'état donne ce qui manque. Le compte est simple : chaque contrainte fournit une égalité, et il faut autant d'égalités que d'inconnues.

1) Le système et l'état initial. Le système est le gaz enfermé, système fermé (la quantité de matière $n$ ne varie pas) ; sa frontière est la paroi du cylindre et la face inférieure du piston. Le piston est à l'équilibre sous trois forces verticales : son poids $M g$ et la force pressante de l'atmosphère $P_{0} S$ , vers le bas ; la force pressante du gaz $P_{i} S$ , vers le haut. Donc $P_{i} = P_{0} + \frac{M g}{S} = 1, 00 \times 1 0^{5} + \frac{2 , 0 \times 9 , 81}{20 \times 1 0 ^{- 4}} = 1, 098 \times 1 0^{5} Pa .$ Le piston pèse l'équivalent d'un dixième de bar : $M g / S \approx 0, 098 bar$ . La quantité de gaz vaut $n = P_{i} V_{i} / (R T_{0}) \approx 4, 40 \times 1 0^{- 2} mol$ .

2) Ce que l'extérieur impose. Dès que la masse est posée, le piston chargé est soumis, de l'extérieur, à son poids total $(M + m) g$ et à la force de l'atmosphère $P_{0} S$ , tous deux constants. Tout se passe comme si le gaz était pressé par une pression extérieure constante $P_{ext} = P_{0} + \frac{( M + m ) g}{S} .$ La transformation est donc monobare. Elle est aussi monotherme : les parois diathermes mettent le gaz en contact avec l'atmosphère, qui joue le rôle de thermostat à $T_{0}$ . Elle n'est ni isobare ni isotherme : pendant les oscillations, le gaz n'est pas en équilibre, sa pression et sa température ne sont même pas définies de façon uniforme ; seules les grandeurs extérieures gardent un sens. C'est exactement la différence entre « iso » (une variable du système, constante à chaque instant) et « mono » (une variable extérieure constante, le système n'étant à l'équilibre qu'aux extrémités).

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