Qu'est-ce qu'un thermostat ?

Exercice de TD · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 4 — Travail et transferts thermiques · C. Les transferts thermiques

Énoncé

On sort d'une glacière une canette de $33 cL$ , assimilée à $0, 33 kg$ d'eau ( $c = 4, 18 kJ k g^{- 1} K^{- 1}$ , enveloppe négligée), qui s'est réchauffée à $30^{\circ} C$ ; on veut la ramener à $10^{\circ} C$ . On admet (le chapitre suivant le justifiera) qu'une phase condensée qui reçoit un transfert thermique $Q$ , sans autre échange, voit sa température varier de $Δ T = Q / (m c)$ .

1) Quel transfert thermique la canette doit-elle céder ?

2) On la plonge dans un seau contenant $2, 0 L$ d'eau à $10^{\circ} C$ . En supposant que tout ce que cède la canette va dans l'eau du seau, majorer l'élévation de température du seau. Le seau est-il un thermostat pour la canette ? La canette atteint-elle $10^{\circ} C$ ?

3) Même question avec un lac de $1 \times 1 0^{6} m^{3}$ d'eau.

4) Même question avec l'air d'un réfrigérateur de $200 L$ ( $ρ = 1, 2 kg m^{- 3}$ , $c_{air} \approx 1, 0 kJ k g^{- 1} K^{- 1}$ ). Le résultat est absurde : pourquoi ? Qu'est-ce qui, dans un réfrigérateur, joue réellement le rôle de thermostat ?

5) Proposer un critère général : à quelle condition un système peut-il être modélisé par un thermostat pour un autre ? Citer un thermostat « par taille » et un thermostat « par régulation ».

Corrigé

La stratégie. Un thermostat est un système dont la température reste constante quoi qu'il échange avec le système étudié. On ne le décrète pas : on le vérifie, en comparant ce que le système étudié peut lui céder à ce qu'il lui faut pour changer notablement de température. Le bon indicateur est le rapport des capacités thermiques $C = m c$ .

1) Ce que la canette doit céder. Sa capacité thermique vaut $C_{can} = 0, 33 \times 4180 = 1, 38 \times 1 0^{3} J K^{- 1}$ . Pour baisser de $20 K$ , elle doit recevoir $Q = - C_{can} \times 20 = - 2, 76 \times 1 0^{4} J$ , c'est-à-dire céder $27, 6 kJ$ .

2) Le seau. Capacité thermique de l'eau du seau : $C_{s} = 2, 0 \times 4180 = 8, 36 \times 1 0^{3} J K^{- 1}$ , six fois celle de la canette. Si elle recevait les $27, 6 kJ$ , elle s'échaufferait de $27, 6 \times 1 0^{3} /8, 36 \times 1 0^{3} = 3, 3 K$ . C'est un majorant : en réalité la canette n'atteint pas $10^{\circ} C$ , puisque le seau se réchauffe en même temps. Les deux finissent à une température commune, comprise entre $10$ et $13, 3^{\circ} C$ (environ $12, 8^{\circ} C$ si l'on écrit que l'énergie cédée par l'une est reçue par l'autre). Le seau n'est pas un thermostat pour la canette : sa température a bougé de près de $3 K$ sur un écart initial de $20 K$ , soit 14 %.

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