Un gaz contre un ressort

Application directe du cours · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 4 — Travail et transferts thermiques

Énoncé

Un cylindre horizontal de section $S = 50 c m^{2}$ contient un gaz parfait fermé par un piston sans masse, mobile sans frottement. De l'autre côté du piston se trouvent l'atmosphère, à $P_{0} = 1, 00 bar$ , et un ressort de raideur $k = 5, 0 \times 1 0^{3} N m^{- 1}$ , attaché à un point fixe et au repos dans l'état initial. Initialement $V_{0} = 1, 0 L$ et $T_{0} = 300 K$ . On chauffe très lentement le gaz jusqu'à ce que le piston se soit déplacé de $x_{f} = 10 cm$ .

1) Écrire l'équilibre du piston et montrer que, le long de la transformation, $P = P_{0} + \frac{k}{S ^{2}} (V - V_{0})$ . Quel est le chemin dans le diagramme de Clapeyron ? La transformation est-elle isobare ? monobare ?

2) Calculer la pression et la température finales.

3) Calculer le travail reçu par le gaz, d'abord par intégration, puis comme l'aire d'un trapèze.

4) Montrer que $- W = P_{0} Δ V + \frac{1}{2} k x_{f}^{2}$ et interpréter chaque terme : où va le travail fourni par le gaz ?

5) Cas limites : $k \to 0$ et $k \to + \infty$ . Retrouver deux transformations du cours.

Corrigé

La stratégie. Le système est le gaz ; la transformation est quasi statique (chauffage très lent, piston sans frottement) : à chaque instant, le piston est en équilibre, ce qui donne $P$ en fonction de $V$ . Le travail est alors $- \int P d V$ le long du chemin que le dispositif impose.

1) Le chemin. Le piston, sans masse, est en équilibre à chaque instant. Si $x$ est son déplacement depuis la position initiale, il subit la force du gaz $P S$ (vers l'extérieur), celle de l'atmosphère $P_{0} S$ et celle du ressort comprimé $k x$ (vers l'intérieur). D'où $P S = P_{0} S + k x$ , et avec $V = V_{0} + S x$ :

$P = P_{0} + \frac{k}{S ^{2}} (V - V_{0}) .$

Le chemin est un segment de droite de pente $k / S^{2}$ dans le diagramme de Clapeyron. La pression augmente : la transformation n'est pas isobare. Elle n'est pas non plus monobare : la force extérieure exercée sur le piston augmente avec $x$ . Ce n'est ni une iso-, ni une mono- quoi que ce soit : c'est un chemin imposé par un dispositif, et le programme demande précisément de savoir calculer le travail sur un tel chemin.

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