Compression brutale ou lente au contact d'un thermostat

Application directe du cours · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 5 — Premier principe et bilans d'énergie

Énoncé

Un cylindre à parois diathermes, plongé dans un thermostat à $T_{0} = 300 K$ , contient un gaz parfait sous un piston sans masse et sans frottement ; à l'équilibre, $P_{0} = 1, 00 bar$ et $V_{0} = 1, 00 L$ . On pose d'un coup sur le piston une masse telle que la pression extérieure devient $P_{1} = x P_{0}$ , avec $x = 2$ .

1) Déterminer l'état final $(P_{1}, V_{1}, T_{1})$ sans rien calculer du chemin. Que vaut $Δ U$ ?

2) Rappeler le travail $W_{b}$ reçu par le gaz au cours de cette compression brutale (il a été établi au chapitre sur le travail et les transferts thermiques), puis calculer le transfert thermique $Q_{b}$ qu'il reçoit.

3) On atteint le même état final en ajoutant la masse grain de sable par grain de sable : la transformation est quasi statique, et assez lente pour que le gaz reste à chaque instant à la température du thermostat. Calculer $W_{l}$ et $Q_{l}$ . Comparer aux résultats précédents, et commenter le statut de $Δ U$ , de $W$ et de $Q$ .

4) Cas limite : montrer que $W_{b} - W_{l} \sim \frac{1}{2} P_{0} V_{0} (x - 1)^{2}$ quand $x \to 1$ . Interpréter.

5) À partir de l'état final de la question 1, on retire d'un coup la masse : le gaz revient à $(P_{0}, V_{0}, T_{0})$ . Calculer le travail reçu au retour, puis le travail et le transfert thermique reçus sur le cycle complet aller brutal, retour brutal. Le signe était-il prévisible ?

Corrigé

Système et contraintes. Système fermé : le gaz. L'extérieur impose deux choses : la pression sur le piston (une fois la masse posée, $P_{ext} = x P_{0}$ , constante) et la température des parois (le thermostat, à $T_{0}$ ). Le piston étant sans masse et sans frottement, son équilibre impose, dans tout état d'équilibre, $P = P_{ext}$ .

1) L'état final, imposé par l'extérieur. Dans l'état final d'équilibre, l'équilibre mécanique du piston donne $P_{1} = x P_{0} = 2, 00 bar$ , l'équilibre thermique avec le thermostat donne $T_{1} = T_{0} = 300 K$ , et l'équation d'état donne $V_{1} = n R T_{0} / P_{1} = V_{0} / x = 0, 50 L$ . Aucune information sur le chemin n'a servi. Le gaz est parfait, donc $U$ ne dépend que de $T$ (première loi de Joule) : $Δ U = 0$ , quel que soit le chemin.

2) Le chemin brutal. La pression extérieure vaut $x P_{0}$ pendant toute la descente du piston, de $V_{0}$ à $V_{0} / x$ ; le travail reçu est

$W_{b} = - \int P_{ext} d V = - x P_{0} (\frac{V _{0}}{x} - V_{0}) = P_{0} V_{0} (x - 1) = 100 J .$

Le premier principe sur le gaz, entre l'état initial et l'état final, donne $0 = W_{b} + Q_{b}$ , donc

$Q_{b} = - W_{b} = - 100 J .$

Le gaz reçoit $100 J$ de travail et cède $100 J$ au thermostat. La température du gaz a pu monter pendant la compression : le bilan ne regarde que les extrémités.

3) Le chemin lent. La transformation est quasi statique, donc à chaque instant $P_{ext} = P$ , et isotherme, donc $P = n R T_{0} / V$ . Alors

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