Détente de Joule–Gay-Lussac : gaz parfait, puis gaz de van der Waals

Exercice de TD · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 5 — Premier principe et bilans d'énergie · A. Le premier principe

Énoncé

Deux récipients de même volume $V$ , à parois rigides et calorifugées, sont reliés par un robinet. L'un contient $n = 1, 00 mol$ de gaz à $T_{1} = 300 K$ , l'autre est vide. On ouvre le robinet, et l'on attend le nouvel équilibre.

1) Que valent $W$ et $Q$ ? Que vaut $Δ U$ ? Le justifier par les parois, et non par la transformation.

2) Le gaz est parfait : que vaut la température finale $T_{f}$ ? La transformation est-elle réversible ?

3) Le gaz est du diazote, décrit par le modèle de van der Waals, dont l'énergie interne est donnée : $U = n C_{V, m} T - \frac{n ^{2} a}{V _{tot}},$ où $V_{tot}$ est le volume occupé, $C_{V, m} = \frac{5}{2} R$ et $a = 0, 137 Pa m^{6} mo l^{- 2}$ . Exprimer $T_{f} - T_{1}$ , puis faire l'application numérique pour $V = 1, 00 L$ . Estimer la pression initiale. Interpréter le signe en termes d'interactions entre molécules.

4) Dans son expérience de 1845, Joule plongeait les deux récipients dans un même bain d'eau et n'observa aucune variation de température du bain. Avec les données de la question 3 et un bain de $7 kg$ d'eau (ordre de grandeur), estimer la variation de température qu'il aurait dû observer. Conclure sur la sensibilité de l'expérience.

Corrigé

Système et transformation. Système fermé : le gaz (toutes ses molécules, où qu'elles soient). Frontière : la paroi intérieure des deux récipients. État initial : gaz à l'équilibre dans le premier récipient, volume $V$ , température $T_{1}$ . État final : gaz à l'équilibre dans les deux récipients, volume $2 V$ , température $T_{f}$ inconnue. Les états intermédiaires ne sont pas des états d'équilibre (le gaz se rue dans le vide) : on ne peut rien écrire sur le chemin.

1) Les parois décident. Les parois sont rigides : aucune partie de la frontière ne se déplace, la frontière ne reçoit ni ne fournit de travail des forces de pression, $W = 0$ . C'est l'immobilité des parois, et non « le vide qui ne pousse rien », qui annule le travail. Les parois sont calorifugées : $Q = 0$ . Le premier principe donne alors $Δ U = W + Q = 0.$ Les deux termes d'échange sont nuls séparément, et c'est ce qui rend la détente de Joule–Gay-Lussac si précieuse : elle mesure directement la façon dont $U$ dépend du volume, à énergie interne fixée.

2) Gaz parfait. L'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de $T$ : $Δ U = n C_{V, m} (T_{f} - T_{1}) = 0$ donne $T_{f} = T_{1} = 300 K$ . Le gaz occupe deux fois plus de place à la même température ; sa pression est divisée par deux. La transformation n'est pas réversible : on n'a jamais vu un gaz se rassembler spontanément dans la moitié de son récipient. Le premier principe, qui donne le même $U$ aux deux états, ne dit pas dans quel sens les choses se passent : le chapitre sur l'entropie chiffrera cette irréversibilité.

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