L'eau surfondue qui gèle d'un coup

De l'eau très pure peut rester liquide en dessous de $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ : on dit qu'elle est en surfusion. Un récipient calorifugé, à la pression atmosphérique, contient $m=100\mathrm{g}$ d'eau surfondue à ${\theta }_1=-10,0{}^{\circ }\mathrm{C}$. On y jette un cristal de glace minuscule : une partie de l'eau se solidifie brutalement. On donne $c_{\ell }=4,18\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$ (eau liquide, supposée constante même en surfusion), $c_s=2,06\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$ (glace), et $L_{\mathrm{fus}}=334\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$.

1) Quelle est la température finale si l'état final est diphasé ? Quelle grandeur se conserve au cours de la transformation, et pourquoi ?

2) La transformation réelle est brutale et hors d'équilibre. Justifier qu'on peut néanmoins calculer $\Delta H$ sur un chemin fictif : réchauffement du liquide jusqu'à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$, puis solidification d'une fraction $x$ de la masse à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$. En déduire $x$.

3) En dessous de quelle température initiale l'eau surfondue gèlerait-elle entièrement, dans ce modèle ? Commenter, sachant qu'en pratique la surfusion de l'eau ne dépasse guère $-40{}^{\circ }\mathrm{C}$.

4) Second chemin : solidification d'une fraction $x$ à $-10{}^{\circ }\mathrm{C}$, puis réchauffement du mélange de glace et de liquide jusqu'à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$. En écrivant que la variation d'enthalpie entre deux états donnés est la même par les deux chemins, exprimer l'enthalpie massique de fusion $L_{\mathrm{fus}}(-10{}^{\circ }\mathrm{C})$ à $-10{}^{\circ }\mathrm{C}$. Vérifier que ce second chemin redonne le même $x$.