L'expérience de Joule : l'équivalent mécanique de la calorie

Application directe du cours · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 5 — Premier principe et bilans d'énergie

Énoncé

Dans une expérience inspirée de celle de Joule (1845-1850 ; les données sont simulées, d'un ordre de grandeur voisin des siennes), deux masses de total $M = 10, 0 kg$ descendent d'une hauteur $h = 1, 50 m$ en entraînant, par une poulie, des palettes qui brassent $m = 600 g$ d'eau dans un vase calorifugé. On remonte les masses sans toucher aux palettes, et l'on recommence : $N = 20$ chutes au total. La valeur en eau du vase et des palettes vaut $μ = 45 g$ : ils ont la capacité thermique de $45 g$ d'eau. On mesure une élévation de température $Δ T = 1, 08 K$ . À l'époque, la chaleur se mesurait en calories : $1 cal$ est le transfert thermique qui élève de $1 K$ la température de $1 g$ d'eau.

1) Définir le système. Que valent $Q$ et $W$ sur l'ensemble de l'expérience ? Exprimer $Δ U$ .

2) Combien de calories aurait-il fallu fournir à ce même système avec un réchaud, sans palettes, pour atteindre le même état final ? En déduire l'« équivalent mécanique de la calorie » $J$ , en joules par calorie.

3) Les masses arrivent en bas de chaque chute avec une vitesse $v = 0, 50 m s^{- 1}$ , et cette énergie cinétique est perdue au choc sur le sol, hors du système. Corriger la valeur de $J$ .

4) Expliquer pourquoi la question 2 a un sens : qu'est-ce qui, dans le premier principe, garantit que le travail et la chaleur produisent « le même effet » ?

5) Ordre de grandeur. Joule, en voyage dans les Alpes en 1847, chercha à mesurer l'échauffement de l'eau au pied d'une cascade. Estimer l'écart de température entre le haut et le bas d'une chute de $51 m$ (celle du fer à cheval, au Niagara), en supposant toute l'énergie potentielle de pesanteur de l'eau convertie en énergie interne de l'eau. Conclure.

Corrigé

1) Système et transformation. On choisit le système fermé $Σ$ = \{eau + vase + palettes\}. Il est fermé (aucune matière n'entre ni ne sort) ; sa frontière passe par l'axe des palettes, ce qui laisse les masses, la corde et la poulie à l'extérieur. État initial : tout au repos à la température $T_{i}$ . État final : tout au repos (les palettes se sont arrêtées), à $T_{i} + Δ T$ . Le vase est calorifugé : $Q = 0$ . Le travail reçu est celui que la corde transmet aux palettes par l'axe ; si les poulies sont sans frottement et les masses descendent lentement, chaque chute fournit $M g h$ , donc

$W = N M g h = 20 \times 10, 0 \times 9, 81 \times 1, 50 = 2943 J .$

Le premier principe, appliqué à $Σ$ entre ces deux états (énergies cinétique et potentielle macroscopiques de $Σ$ inchangées), donne $Δ U = W + Q = W$ . Par extensivité de $U$ , $Δ U$ est la somme des variations de l'eau et du vase avec ses palettes ; comme ceux-ci se comportent comme $45 g$ d'eau, $Δ U = (m + μ) c_{eau} Δ T$ .

2) Le même état final par la chaleur. Partons du même état initial et chauffons $Σ$ avec un réchaud, palettes immobiles : cette fois $W = 0$ , et $Q$ est ce qu'il faut pour élever de $Δ T$ la température de l'équivalent de $m + μ = 645 g$ d'eau. Par définition de la calorie,

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