Le glaçon : l'hypothèse sur l'état final se vérifie

Application directe du cours · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 5 — Premier principe et bilans d'énergie

Énoncé

Un verre, de capacité thermique négligeable, contient $m_{e} = 200 g$ d'eau à $25^{\circ} C$ . On néglige les échanges avec l'air pendant la durée de l'expérience, qui se déroule sous la pression atmosphérique. On donne la capacité thermique massique de la glace, $c_{s} = 2, 10 kJ k g^{- 1} K^{- 1}$ .

1) On y met un glaçon de $30 g$ à $0^{\circ} C$ . Faire l'hypothèse que toute la glace fond, écrire le bilan, calculer la température finale $θ_{f}$ et vérifier l'hypothèse.

2) On y met plutôt $100 g$ de glace sortie du congélateur à $- 18^{\circ} C$ . Reprendre la même hypothèse : quelle $θ_{f}$ obtient-on ? Conclure.

3) Faire la bonne hypothèse, la justifier par une comparaison d'énergies, et déterminer l'état final : température et masse de glace restante.

4) Pourquoi un glaçon rafraîchit-il bien mieux que la même masse d'eau à $0^{\circ} C$ ? Chiffrer pour le cas de la question 1.

Corrigé

Système et transformation. Système : \{eau du verre + glace\}, fermé. Transformation : de l'état initial (juste après l'introduction de la glace, chaque partie à sa température) à l'état final d'équilibre. Contraintes : pression atmosphérique constante, équilibre mécanique avec elle au début et à la fin ; échanges thermiques négligés, donc $Q = 0$ . Le bilan d'enthalpie monobare donne $Δ H = Q = 0$ , et par extensivité de $H$ , $Δ H$ est la somme des variations de chaque partie, que l'on calcule chacune sur un chemin commode.

1) Le glaçon à $0^{\circ} C$ . Hypothèse : toute la glace fond, l'état final est liquide à $θ_{f} \geq 0^{\circ} C$ . Chemin pour la glace : fusion à $0^{\circ} C$ , puis échauffement de l'eau de fonte de $0$ à $θ_{f}$ . Chemin pour l'eau : refroidissement de $25$ à $θ_{f}$ . Le bilan s'écrit

$m_{g} L_{fus} + m_{g} c (θ_{f} - 0) + m_{e} c (θ_{f} - 25) = 0,$

d'où

$θ_{f} = \frac{m _{e} c \times 25 - m _{g} L _{fus}}{( m _{e} + m _{g} ) c} = \frac{20 900 - 10 020}{0 , 230 \times 4180} = 11, 3^{\circ} C .$

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