Remplir une bouteille vide : $T_f=\gamma T_0$

Une bouteille rigide et calorifugée, de volume $V_B$, est initialement vide. On ouvre un robinet : l'air atmosphérique ($P_0$, $T_0=293\mathrm{K}$, gaz parfait de $\gamma =1,40$) s'y engouffre jusqu'à ce que la pression intérieure soit $P_0$, et l'on referme. L'opération est assez rapide pour que les échanges thermiques avec les parois soient négligeables ; l'air finit au repos dans la bouteille.

1) Le contenu de la bouteille n'est pas un système fermé. Proposer un système fermé dont on puisse faire le bilan : on considérera l'air qui va entrer, occupant initialement à l'extérieur un volume $V_0$ (inconnu).

2) Quel est le travail reçu par ce système au cours du remplissage ? On admettra que l'air extérieur qui le pousse reste à la pression $P_0$.

3) En déduire que $U_f=U_0+P_0{V}_0$, c'est-à-dire $U_f=H_0$, et que la température finale est $T_f=\gamma T_0$. Application numérique.

4) La bouteille, refermée, revient lentement à $T_0$. Quelle pression y lit-on alors ? Proposer une expérience qui teste ce résultat.

5) Que vaudrait $T_f$ pour de l'hélium ($\gamma =\frac{5}{3}$) ? Commenter la phrase « l'enthalpie est l'énergie qu'il faut pour amener la matière en place ».