Chauffer une maison par pompe à chaleur

Exercice de TD · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 7 — Machines thermiques · C. Rendement, efficacité et théorème de Carnot

Énoncé

Une maison est maintenue à $T_{i} = 293 K$ . Ses pertes thermiques vers l'extérieur, à la température $T_{e}$ , sont proportionnelles à l'écart de température : on admet qu'elles valent $K (T_{i} - T_{e})$ , avec $K = 250 W K^{- 1}$ . On chauffe par une pompe à chaleur fonctionnant entre la maison et l'air extérieur.

Montrer que, pour une même machine décrivant un même cycle, $e_{PAC} = e_{frigo} + 1$ , et l'interpréter. Pourquoi l'efficacité d'une pompe à chaleur est-elle toujours supérieure à $1$ ?
Exprimer la puissance électrique minimale $P_{min}$ à fournir à la pompe à chaleur en régime permanent, en fonction de $K$ , $T_{i}$ et $T_{e}$ . Commenter sa dépendance en $T_{i} - T_{e}$ .
Calculer les pertes, l'efficacité de Carnot et $P_{min}$ pour $T_{e} = 273 K$ , puis pour $T_{e} = 263 K$ . Comparer au radiateur électrique.
Une pompe à chaleur air-eau réelle a une efficacité de l'ordre de $3, 5$ . Quelle puissance électrique consomme-t-elle pour $T_{e} = 273 K$ ? Pourquoi est-elle si loin de l'efficacité de Carnot ? On pourra considérer que le fluide doit céder sa chaleur à l'eau des radiateurs, vers $45^{\circ} C$ .
Avec $T_{i} = 300 K$ et $T_{e} = 280 K$ , puis avec $20^{\circ} C$ et $5^{\circ} C$ , calculer l'efficacité maximale. Que montre la comparaison ?

Corrigé

Le système. Le fluide de la pompe, fermé, sur un nombre entier de cycles, entre la maison ( $T_{i}$ , source chaude) et l'air extérieur ( $T_{e}$ ) ; pour le régime permanent, la maison elle-même.

1) La relation entre les efficacités. Sur un cycle, $Q_{c} = - (W + Q_{f})$ . Pour la même machine, $e_{PAC} = \frac{- Q _{c}}{W} = \frac{W + Q _{f}}{W} = 1 + \frac{Q _{f}}{W} = 1 + e_{frigo} .$ La chaleur livrée à la maison est la chaleur prise dehors plus le travail consommé, qui finit lui aussi en chaleur côté chaud. Comme $e_{frigo} \geq 0$ pour un récepteur ( $Q_{f} \geq 0$ ), $e_{PAC} \geq 1$ : une pompe à chaleur fait toujours au moins aussi bien qu'un radiateur électrique, qui convertit $1 J$ électrique en $1 J$ de chaleur. La pompe à chaleur déplace de l'énergie, elle n'en fabrique pas.

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