L'écart à Carnot mesure l'entropie créée

La stratégie. On ne part pas de l'inégalité de Clausius : on écrit les deux bilans en égalités, avec $S_{\text{creˊeˊ}}$ comme terme à part entière, et l'on élimine $Q_f$. Le système est, comme toujours, le fluide qui décrit le cycle (fermé) ; la transformation est un cycle, donc $\Delta U=0$ et $\Delta S=0$.

1) La formule. Les deux bilans sont $$W+Q_c+Q_f=0,\frac{Q_c}{T_c}+\frac{Q_f}{T_f}+S_{\text{creˊeˊ}}=0.$$ Le second donne $Q_f=-\frac{T_f}{T_c}{Q}_c-T_f{S}_{\text{creˊeˊ}}$. Dans le premier : $$-W=Q_c+Q_f=Q_c\left(1-\frac{T_f}{T_c}\right)-T_f{S}_{\text{creˊeˊ}}.$$ On divise par $Q_c>0$ : $$\boxed{\eta =\frac{-W}{Q_c}={\eta }_C-\frac{T_f{S}_{\text{creˊeˊ}}}{Q_c}}.$$ Comme $S_{\text{creˊeˊ}}\ge 0$, $T_f>0$ et $Q_c>0$, le terme retranché est positif : $\eta \le {\eta }_C$, c'est le théorème de Carnot ; l'égalité a lieu si et seulement si $S_{\text{creˊeˊ}}=0$, c'est-à-dire pour un moteur réversible.

Le travail perdu. À chaleur reçue $Q_c$ fixée, un moteur réversible fournirait ${\eta }_C{Q}_c$ ; le moteur réel fournit ${\eta }_C{Q}_c-T_f{S}_{\text{creˊeˊ}}$. La différence, $T_f{S}_{\text{creˊeˊ}}$, est le travail perdu : c'est exactement le supplément de chaleur rejeté à la source froide pour évacuer l'entropie créée. Homogénéité : des kelvins fois des joules par kelvin, ce sont des joules.