Le cycle de Carnot d'un gaz parfait, en (P,V) et en (T,S)

Application directe du cours · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 7 — Machines thermiques

Énoncé

Un moteur de Carnot utilise $n$ moles d'hélium, gaz parfait monoatomique ( $C_{V, m} = \frac{3}{2} R$ , $γ = 5/3$ , $R = 8, 314 J K^{- 1} mo l^{- 1}$ ). Le cycle, décrit en sens moteur, comporte quatre étapes : $A \to B$ , détente isotherme réversible au contact de la source chaude $T_{c} = 600 K$ , de $V_{A} = 1, 0 L$ (avec $P_{A} = 30 bar$ ) à $V_{B} = 1, 6 L$ ; $B \to C$ , détente adiabatique réversible jusqu'à la température $T_{f} = 300 K$ ; $C \to D$ , compression isotherme réversible au contact de la source froide $T_{f}$ ; $D \to A$ , compression adiabatique réversible qui ramène le gaz en $A$ . On donne l'entropie du gaz parfait : $S (T, V) = n C_{V, m} ln T + n R ln V + cte$ .

Calculer $n$ . Énoncer la loi de Laplace avec ses conditions, et en déduire $V_{C}$ et $V_{D}$ . Montrer que $V_{C} / V_{B} = V_{D} / V_{A}$ .
Calculer le travail et le transfert thermique reçus par le gaz au cours de chaque étape. En déduire $Q_{c}$ , $Q_{f}$ , $W$ et le rendement, sans invoquer le théorème de Carnot.
Vérifier l'égalité de Clausius. Calculer $Δ S_{A B}$ avec l'expression donnée, et la comparer à $Q_{c} / T_{c}$ . Conclure sur l'entropie créée.
Décrire le cycle dans le diagramme $(P, V)$ , puis dans le diagramme $(T, S)$ . Montrer qu'en $(T, S)$ c'est un rectangle, et que les énergies échangées s'y lisent comme des aires.
Pourquoi un tel moteur a-t-il une puissance nulle ? Que faut-il accepter pour obtenir une puissance non nulle ?

Corrigé

Le système et la stratégie. Le système est le gaz, système fermé de $n$ moles. On calcule chaque étape séparément puis on additionne. Pour les isothermes, l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de $T$ : $Δ U = 0$ , donc $Q = - W$ . Pour les adiabatiques réversibles, $Q = 0$ et $W = Δ U$ .

1) Quantité de matière et volumes. Par l'équation d'état en $A$ ,

$n = \frac{P _{A} V _{A}}{R T _{c}} = \frac{30 \times 1 0 ^{5} \times 1 , 0 \times 1 0 ^{- 3}}{8 , 314 \times 600} \approx 0, 601 mol, n R = \frac{P _{A} V _{A}}{T _{c}} = 5, 00 J K^{- 1} .$

La loi de Laplace : pour un gaz parfait de $γ$ constant subissant une transformation adiabatique et réversible, $P V^{γ}$ reste constant, ainsi que $T V^{γ - 1}$ . Ses trois conditions sont remplies sur $B C$ et $D A$ (gaz parfait, pas d'échange thermique, pas d'irréversibilité). Donc

$T_{c} V_{B}^{γ - 1} = T_{f} V_{C}^{γ - 1} ⟹ V_{C} = V_{B} (\frac{T _{c}}{T _{f}})^{\frac{1}{γ - 1}} = 1, 6 \times 2^{3/2} \approx 4, 53 L,$

et de même $V_{D} = V_{A} (T_{c} / T_{f})^{1/ (γ - 1)} = 2^{3/2} \approx 2, 83 L$ . Les deux adiabatiques relient les mêmes températures, donc multiplient le volume par le même facteur $2^{3/2} \approx 2, 83$ : $V_{C} / V_{B} = V_{D} / V_{A}$ , d'où $V_{C} / V_{D} = V_{B} / V_{A} = 1, 6$ . Les pressions s'en déduisent : $P_{B} = 18, 75 bar$ , $P_{C} \approx 3, 31 bar$ , $P_{D} \approx 5, 30 bar$ .

2) Étape par étape.

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