Le diagramme de Raveau

Exercice de TD · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 7 — Machines thermiques · B. Moteur ou récepteur : le sens des échanges

Énoncé

Une machine ditherme cyclique fonctionne entre $T_{c} = 600 K$ et $T_{f} = 300 K$ . On représente chaque fonctionnement possible par un point du plan $(Q_{c}, Q_{f})$ , $Q_{c}$ en abscisse et $Q_{f}$ en ordonnée.

Tracer la droite $D_{0}$ sur laquelle $W = 0$ , et indiquer de quel côté $W < 0$ .
Traduire l'inégalité de Clausius par une région du plan, délimitée par une droite $D_{C}$ dont on donnera la pente. Hachurer la région interdite.
Montrer, par un raisonnement sur les signes, que dans la région permise $W < 0$ impose $Q_{c} > 0$ et $Q_{f} < 0$ . Conclusion ?
On suppose maintenant $W > 0$ . Montrer qu'il existe exactement trois modes de fonctionnement, selon les signes de $Q_{c}$ et $Q_{f}$ . Lequel correspond au réfrigérateur et à la pompe à chaleur ? Décrire physiquement les deux autres et dire pourquoi personne ne les construit.
Placer le moteur réel $(Q_{c} = 1000 J, Q_{f} = - 700 J)$ et le moteur de Carnot de même $Q_{c}$ . Lire graphiquement le travail fourni par chacun.

Corrigé

La stratégie. Les deux principes sur un cycle, pour le fluide (système fermé), donnent $W = - (Q_{c} + Q_{f})$ et $\frac{Q _{c}}{T _{c}} + \frac{Q _{f}}{T _{f}} \leq 0$ : chaque relation devient une droite, chaque inégalité un demi-plan.

1) La droite du travail nul. $W = 0$ équivaut à $Q_{f} = - Q_{c}$ : c'est la seconde bissectrice, de pente $- 1$ , qui passe par l'origine. Et $W < 0$ équivaut à $Q_{c} + Q_{f} > 0$ , soit $Q_{f} > - Q_{c}$ : la région où la machine fournit du travail est au-dessus de $D_{0}$ .

2) La droite de Clausius. L'inégalité s'écrit, en multipliant par $T_{f} > 0$ , $Q_{f} \leq - \frac{T _{f}}{T _{c}} Q_{c} = - \frac{1}{2} Q_{c} .$ La frontière $D_{C}$ est la droite passant par l'origine de pente $- T_{f} / T_{c} = - 0, 5$ , moins inclinée que $D_{0}$ . La région permise est au-dessous de $D_{C}$ (droite comprise : les machines réversibles) ; tout ce qui est strictement au-dessus est interdit.

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