Le moteur de Stirling et son régénérateur

Application directe du cours · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 7 — Machines thermiques

Énoncé

Dans un moteur de Stirling, $n$ moles d'hélium (gaz parfait, $C_{V, m} = \frac{3}{2} R$ ) décrivent un cycle fermé, entre une source chaude à $T_{c} = 600 K$ et une source froide à $T_{f} = 300 K$ , avec un rapport volumétrique $a = V_{max} / V_{min} = 2$ . Les quatre étapes sont quasi statiques : $1 \to 2$ , compression isotherme à $T_{f}$ , de $V_{max}$ à $V_{min}$ ; $2 \to 3$ , échauffement isochore de $T_{f}$ à $T_{c}$ ; $3 \to 4$ , détente isotherme à $T_{c}$ , de $V_{min}$ à $V_{max}$ ; $4 \to 1$ , refroidissement isochore de $T_{c}$ à $T_{f}$ .

Représenter le cycle dans le diagramme $(P, V)$ et justifier qu'il est moteur.
Sans régénérateur, les étapes $2 \to 3$ et $3 \to 4$ se font au contact de la source chaude, et les étapes $4 \to 1$ et $1 \to 2$ au contact de la source froide. Calculer les transferts thermiques de chaque étape, puis $Q_{c}$ , $Q_{f}$ et $W$ . En déduire $η = \frac{R ( T _{c} - T _{f} ) ln a}{C _{V, m} ( T _{c} - T _{f} ) + R T _{c} ln a} .$ Faire l'application numérique et comparer à $η_{C}$ . Calculer l'entropie créée par cycle, et dire quelles étapes sont irréversibles.
Étudier la limite $a \to \infty$ et commenter.
Avec un régénérateur parfait — une matrice poreuse placée sur le trajet du gaz —, la chaleur cédée par le gaz pendant $4 \to 1$ est stockée dans la matrice, puis intégralement rendue au gaz pendant $2 \to 3$ , à chaque instant à la température du gaz. Que deviennent $Q_{c}$ et $η$ ? Quel est le rôle du régénérateur du point de vue de l'entropie créée ?
Citer une application réelle du moteur de Stirling, ou du cycle de Stirling en réfrigération.

Corrigé

Le système et la stratégie. Le système est le gaz, fermé ; on calcule chaque étape sur son chemin, puis on fait le bilan du cycle. La question décisive : de qui le gaz reçoit-il la chaleur ? (Le travail de ce cycle a été calculé au chapitre sur le travail ; on en fait ici une machine ditherme.)

1) Le diagramme. En $(P, V)$ , les états $1$ et $4$ sont au volume $V_{max}$ , les états $2$ et $3$ au volume $V_{min}$ . Le cycle est formé de deux morceaux d'hyperboles, $P V = n R T_{f}$ en bas et $P V = n R T_{c}$ en haut, et de deux segments verticaux. On part de $1$ (en bas à droite), on suit l'hyperbole basse vers la gauche jusqu'à $2$ , on monte jusqu'à $3$ , on suit l'hyperbole haute vers la droite jusqu'à $4$ et l'on redescend en $1$ . Le parcours est horaire : la détente $3 \to 4$ se fait à plus haute pression que la compression $1 \to 2$ , donc $W < 0$ : le cycle est moteur.

2) Sans régénérateur. Étape par étape, avec $Δ U = n C_{V, m} Δ T$ pour un gaz parfait :

$1 \to 2$ , isotherme quasi statique à $T_{f}$ : $Δ U = 0$ , $Q_{12} = - W_{12} = n R T_{f} ln \frac{V _{min}}{V _{max}} = - n R T_{f} ln a < 0$ .
$2 \to 3$ , isochore : $W_{23} = 0$ , $Q_{23} = n C_{V, m} (T_{c} - T_{f}) > 0$ .
$3 \to 4$ , isotherme à $T_{c}$ : $Q_{34} = n R T_{c} ln a > 0$ .
$4 \to 1$ , isochore : $Q_{41} = - n C_{V, m} (T_{c} - T_{f}) < 0$ .

Sans régénérateur, la source chaude fournit les deux transferts positifs, et la source froide reçoit les deux négatifs :

$Q_{c} = n C_{V, m} (T_{c} - T_{f}) + n R T_{c} ln a, Q_{f} = - n C_{V, m} (T_{c} - T_{f}) - n R T_{f} ln a .$

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