Les énoncés de Kelvin et de Clausius, conséquences des deux bilans sur un cycle

Exercice de TD · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 7 — Machines thermiques · A. Machines cycliques dithermes

Énoncé

Un fluide décrit des cycles. Il échange du travail $W$ avec l'extérieur et de la chaleur avec des thermostats. Toutes les grandeurs sont algébriques et reçues par le fluide. On rappelle que l'entropie échangée avec un thermostat de température $T_{i}$ dont le fluide reçoit $Q_{i}$ vaut $Q_{i} / T_{i}$ .

Machine monotherme. Le fluide n'échange de chaleur qu'avec un thermostat de température $T_{0}$ . Écrire, sur un cycle, le bilan d'énergie et le bilan d'entropie en conservant l'entropie créée $S_{cr e ˊ e ˊ}$ . En déduire que $W = T_{0} S_{cr e ˊ e ˊ}$ . Conclure : une machine cyclique monotherme ne peut pas fournir de travail (énoncé de Kelvin). Dans quel cas a-t-on $W = 0$ ?
Un inventeur propose un navire qui avancerait en prélevant de la chaleur à l'océan, à $T_{0} = 288 K$ , et en la convertissant en travail. Que lui répondre ? Inversement, que fait un agitateur qui brasse un bain thermostaté à $T_{0}$ en lui fournissant $1 kJ$ de travail ? Calculer l'entropie créée.
Machine ditherme sans travail. Le fluide échange $Q_{c}$ avec un thermostat à $T_{c}$ et $Q_{f}$ avec un thermostat à $T_{f} < T_{c}$ , et $W = 0$ sur chaque cycle. Montrer que $Q_{c} = S_{cr e ˊ e ˊ} \frac{T _{c} T _{f}}{T _{c} - T _{f}} \geq 0.$ Énoncer le résultat en une phrase (énoncé de Clausius).
En déduire, sans calcul supplémentaire, pourquoi un moteur thermique doit rejeter de la chaleur à une source froide, et pourquoi son rendement est strictement inférieur à $1$ , même idéalement.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le premier principe pour un système fermé au repos, $Δ U = W + Q$ ; le deuxième principe, $Δ S = S_{e ˊ ch} + S_{cr e ˊ e ˊ}$ avec $S_{e ˊ ch} = \sum_{i} Q_{i} / T_{i}$ et $S_{cr e ˊ e ˊ} \geq 0$ ; le fait que $U$ et $S$ sont des fonctions d'état. La stratégie est la même pour les quatre questions : écrire les deux bilans sur un cycle, en gardant $S_{cr e ˊ e ˊ}$ dans l'égalité, puis lire le signe des grandeurs qu'on cherche.

Le système et la transformation. Le système est le fluide qui décrit le cycle : système fermé, limité par les parois de la machine. La transformation est un cycle : l'état final est l'état initial. Comme $U$ et $S$ ne dépendent que de l'état, $Δ U = 0$ et $Δ S = 0$ sur un cycle ; en revanche $W$ et $Q$ sont des échanges, qui n'ont aucune raison d'être nuls.

1) La machine monotherme. Le fluide reçoit $W$ et $Q$ (du seul thermostat à $T_{0}$ ). Les deux bilans s'écrivent $0 = Δ U = W + Q, 0 = Δ S = \frac{Q}{T _{0}} + S_{cr e ˊ e ˊ} .$ Le second donne $Q = - T_{0} S_{cr e ˊ e ˊ}$ , et le premier $W = - Q$ , d'où $W = T_{0} S_{cr e ˊ e ˊ} \geq 0 .$ Le travail reçu par le fluide est positif ou nul : la machine ne peut pas en fournir. C'est l'énoncé de Kelvin : aucune machine cyclique monotherme ne fournit de travail. On a $W = 0$ si et seulement si $S_{cr e ˊ e ˊ} = 0$ , c'est-à-dire pour un cycle réversible — et alors $Q = 0$ aussi : le meilleur cycle monotherme est celui qui ne fait rien.

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