Moteur entre deux sources de capacité finie

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 7 — Machines thermiques · C. Rendement, efficacité et théorème de Carnot

Énoncé

Deux blocs d'eau liquide de masse $m = 1, 0 kg$ chacun ( $c = 4, 18 kJ k g^{- 1} K^{- 1}$ , capacité thermique $C = m c$ ) sont initialement à $T_{1} = 360 K$ et $T_{2} = 280 K$ . On admet que l'entropie d'un bloc s'écrit $S = C ln T + cte$ . Un moteur fonctionne entre ces deux blocs, isolés de tout le reste, jusqu'à ce qu'ils atteignent une même température $T_{fin}$ .

Pourquoi ne peut-on pas appliquer $η_{C} = 1 - T_{2} / T_{1}$ à l'ensemble du fonctionnement ? On décompose l'évolution en cycles élémentaires, au cours desquels le fluide reçoit $δ Q_{1}$ du bloc chaud, $δ Q_{2}$ du bloc froid et le travail $δ W$ . Écrire les deux bilans pour un cycle élémentaire.
On suppose le moteur réversible. Montrer que le produit $T_{1} T_{2}$ des températures des blocs reste constant au cours du fonctionnement, et en déduire $T_{fin}$ .
Montrer que le travail total fourni vaut $W_{max} = C (T_{1} - T_{2})^{2}$ . Faire l'application numérique.
Calculer le rendement global $W_{max} / Q_{1}$ , où $Q_{1}$ est la chaleur cédée par le bloc chaud. Montrer qu'il vaut $1 - T_{2} / T_{1}$ et le comparer à $1 - T_{2} / T_{1}$ . Interpréter.
On met plutôt les deux blocs en contact direct, sans moteur. Calculer la température finale et l'entropie créée. Que devient le travail récupérable ?
Le moteur est réel (irréversible). La température finale est-elle plus grande ou plus petite que $T_{1} T_{2}$ ? Le travail fourni ?

Corrigé

1) Pourquoi des cycles élémentaires. Le rendement de Carnot suppose deux thermostats, de températures fixées. Ici, le bloc chaud se refroidit à mesure qu'il cède de la chaleur et le bloc froid se réchauffe : les « sources » changent de température pendant le fonctionnement, et il n'y a pas un $η_{C}$ mais une suite de valeurs, qui tend vers $0$ quand les deux températures se rejoignent. Sur un cycle élémentaire, chaque bloc échange une chaleur infinitésimale et garde une température pratiquement constante : il se comporte comme un thermostat à sa température actuelle.

Système et transformation : le fluide du moteur, fermé, sur un cycle élémentaire. Ses fonctions d'état reviennent à leur valeur : $δ W + δ Q_{1} + δ Q_{2} = 0, \frac{δ Q _{1}}{T _{1}} + \frac{δ Q _{2}}{T _{2}} + δ S_{cr e ˊ e ˊ} = 0.$ Le bloc chaud reçoit $- δ Q_{1}$ , et il n'échange rien d'autre : $C d T_{1} = - δ Q_{1}$ ; de même $C d T_{2} = - δ Q_{2}$ .

2) Le produit constant. Moteur réversible : $δ S_{cr e ˊ e ˊ} = 0$ . En reportant les échanges des blocs, $- \frac{C d T _{1}}{T _{1}} - \frac{C d T _{2}}{T _{2}} = 0 ⟺ d (ln T_{1} + ln T_{2}) = 0 ⟺ T_{1} T_{2} = cte .$ Une seconde lecture, plus globale. Le système formé des deux blocs et du fluide n'échange que du travail avec l'extérieur. Sur un nombre entier de cycles du fluide, $Δ S_{fluide} = 0$ , et avec l'expression donnée $Δ S = C ln \frac{T _{1}^{'}}{T _{1}} + C ln \frac{T _{2}^{'}}{T _{2}} = C ln \frac{T _{1}^{'} T _{2}^{'}}{T _{1} T _{2}} = S_{cr e ˊ e ˊ},$ qui est nul pour un moteur réversible. À la fin, les deux températures sont égales à $T_{fin}$ : $T_{fin}^{2} = T_{1} T_{2}, T_{fin} = T_{1} T_{2} = 360 \times 280 \approx 317, 5 K .$ C'est la moyenne géométrique, et non la moyenne arithmétique.

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