Problème : le cycle de Beau de Rochas

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 7 — Machines thermiques · C. Rendement, efficacité et théorème de Carnot

Énoncé

Dans un moteur à essence à quatre temps, un mélange d'air et d'essence est admis dans le cylindre, comprimé, enflammé par une bougie quand le piston est au point mort haut, détendu, puis évacué. On modélise ce fonctionnement par un cycle fermé décrit par une mole d'air, assimilé à un gaz parfait de capacité thermique molaire $C_{V, m} = \frac{5}{2} R$ et de rapport $γ = 1, 4$ : $A \to B$ , compression adiabatique réversible de $V_{A}$ à $V_{B} = V_{A} / a$ ; $B \to C$ , combustion instantanée, modélisée par un échauffement isochore (chaleur $Q_{B C}$ reçue) ; $C \to D$ , détente adiabatique réversible jusqu'au volume $V_{A}$ ; $D \to A$ , refroidissement isochore, qui modélise l'échappement suivi de l'admission (chaleur $Q_{D A}$ reçue). Données : $a = 9, 5$ ; $T_{A} = 300 K$ ; $P_{A} = 1, 0 bar$ ; $T_{C} = 2200 K$ ; $R = 8, 314 J K^{- 1} mo l^{- 1}$ . On donne l'entropie d'une mole de gaz parfait : $S (T, V) = C_{V, m} ln T + R ln V + cte$ .

Associer chaque étape à un temps du moteur. Le gaz réel change de composition et sort du cylindre : quelles hypothèses permettent de le traiter comme un système fermé décrivant un cycle ? Tracer l'allure du cycle dans le diagramme $(P, V)$ et justifier qu'il est moteur.
Énoncer la loi de Laplace et ses conditions d'application. En déduire $T_{B}$ et $T_{D}$ en fonction de $T_{A}$ , $T_{C}$ , $a$ et $γ$ . Calculer $T_{B}$ , $P_{B}$ et $T_{D}$ .
Exprimer $Q_{B C}$ , $Q_{D A}$ et $W$ . Établir que le rendement vaut $η = 1 - a^{1 - γ}$ , puis l'écrire sous la forme $η = 1 - T_{A} / T_{B}$ .
Faire l'application numérique. Comparer au rendement d'un moteur à essence réel, $0, 30$ à $0, 36$ , et proposer des causes de l'écart.
Comparer $η$ au rendement de Carnot d'un moteur fonctionnant entre $T_{A}$ et $T_{C}$ . On modélise le cycle comme ditherme, avec une source chaude à $T_{C}$ et une source froide à $T_{A}$ : calculer l'entropie créée par cycle et dire où l'irréversibilité est localisée.
Le rendement croît avec $a$ . Pourquoi les constructeurs ne dépassent-ils pas $a \approx 10$ à $12$ dans un moteur à essence ? Comment le moteur Diesel contourne-t-il la difficulté ?

Corrigé

1) Du moteur au cycle. Les temps. Premier temps, l'admission, à pression voisine de la pression atmosphérique. Deuxième temps, la compression : $A \to B$ . Au point mort haut, la combustion, si rapide que le piston n'a pas le temps de bouger : $B \to C$ . Troisième temps, la détente, le seul moteur : $C \to D$ . La soupape d'échappement s'ouvre alors et la pression chute à volume pratiquement constant ; l'isochore $D \to A$ représente ensemble cette chute, le quatrième temps (échappement) et l'admission suivante.

Les hypothèses. (i) La quantité de gaz est constante (l'essence ne pèse qu'environ un quinzième de la masse d'air) et l'on assimile mélange et gaz brûlés à de l'air, gaz parfait de $γ$ constant. (ii) La combustion est remplacée par un transfert thermique $Q_{B C}$ reçu d'une source extérieure. (iii) Les gaz brûlés expulsés en $D$ sont remplacés par des gaz frais en $A$ : on remplace cet échange de matière par un refroidissement isochore du même gaz, qui le ramène dans l'état $A$ . Les travaux d'admission et d'échappement, à peu près à la même pression et en sens opposés, se compensent. Le système est alors fermé et décrit un cycle.

Le diagramme. En $(P, V)$ : de $A$ (grand volume, basse pression), l'adiabatique monte vers la gauche jusqu'à $B$ ; le segment vertical $B C$ ; l'adiabatique redescend vers la droite jusqu'à $D$ , au-dessus de la courbe de compression ; le segment vertical $D A$ . Le sens est horaire : la détente se fait à plus haute pression que la compression, $W < 0$ , le cycle est moteur.

2) La loi de Laplace. Pour un gaz parfait de $γ$ constant, au cours d'une transformation adiabatique et réversible, $P V^{γ} = cte$ , et de façon équivalente $T V^{γ - 1} = cte$ . Ces conditions sont celles du modèle sur $A B$ et $C D$ . Donc $T_{A} V_{A}^{γ - 1} = T_{B} (\frac{V _{A}}{a})^{γ - 1} ⟹ T_{B} = T_{A} a^{γ - 1},$ $T_{C} (\frac{V _{A}}{a})^{γ - 1} = T_{D} V_{A}^{γ - 1} ⟹ T_{D} = T_{C} a^{1 - γ} .$ Numériquement, $a^{γ - 1} = 9, 5^{0, 4} \approx 2, 461$ : $T_{B} \approx 300 \times 2, 461 \approx 738 K, T_{D} \approx \frac{2200}{2 , 461} \approx 894 K,$ $P_{B} = P_{A} a^{γ} = 9, 5^{1, 4} \times 1, 0 bar \approx 23, 4 bar .$ La pression maximale, en $C$ , vaut $P_{B} T_{C} / T_{B} \approx 70 bar$ : l'ordre de grandeur des pressions de combustion d'un moteur réel.

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