Chauffer une maison par pompe à chaleur

Le système. Le fluide de la pompe, fermé, sur un nombre entier de cycles, entre la maison ($T_i$, source chaude) et l'air extérieur ($T_e$) ; pour le régime permanent, la maison elle-même.

1) La relation entre les efficacités. Sur un cycle, $Q_c=-(W+Q_f)$. Pour la même machine, $$e_{\text{PAC}}=\frac{-Q_c}{W}=\frac{W+Q_f}{W}=1+\frac{Q_f}{W}=1+e_{\text{frigo}}.$$ La chaleur livrée à la maison est la chaleur prise dehors plus le travail consommé, qui finit lui aussi en chaleur côté chaud. Comme $e_{\text{frigo}}\ge 0$ pour un récepteur ($Q_f\ge 0$), $e_{\text{PAC}}\ge 1$ : une pompe à chaleur fait toujours au moins aussi bien qu'un radiateur électrique, qui convertit $1\mathrm{J}$ électrique en $1\mathrm{J}$ de chaleur. La pompe à chaleur déplace de l'énergie, elle n'en fabrique pas.

2) La puissance minimale. En régime permanent, la maison reçoit autant qu'elle perd : la puissance thermique livrée par la pompe vaut $K(T_i-T_e)$. Par le théorème de Carnot appliqué au récepteur, $e\le T_i/(T_i-T_e)$, donc $$P_{\text{eˊl}}=\frac{K(T_i-T_e)}{e}\ge P_{\text{min}}=\frac{K(T_i-T_e{)}^2}{T_i}.$$ Homogénéité : des $\mathrm{W}{\mathrm{K}}^{-1}$ fois des ${\mathrm{K}}^2$ divisés par des kelvins, ce sont des watts. La dépendance est quadratique en l'écart : quand il fait plus froid, la maison perd davantage et chaque watt est plus cher à pomper, puisque l'efficacité de Carnot baisse. Les deux effets se multiplient.

3) Applications numériques.

• $T_e=273\mathrm{K}$ : pertes $250\times 20=5,0\mathrm{kW}$ ; $e_C=293/20\approx 14,7$ ; $P_{\text{min}}=250\times 400/293\approx 341\mathrm{W}$.
• $T_e=263\mathrm{K}$ : pertes $250\times 30=7,5\mathrm{kW}$ ; $e_C=293/30\approx 9,77$ ; $P_{\text{min}}=250\times 900/293\approx 768\mathrm{W}$.

L'écart est multiplié par $1,5$, la puissance minimale par $1,5^2=2,25$. Un radiateur consommerait $5,0$ puis $7,5\mathrm{kW}$ : c'est pourquoi une pompe à chaleur « peine » par grand froid.

4) La machine réelle. Avec $e=3,5$ et $T_e=273\mathrm{K}$, $P_{\text{eˊl}}=5000/3,5\approx 1,43\mathrm{kW}$ : quatre fois $P_{\text{min}}$, mais trois fois et demie moins qu'un radiateur électrique. L'écart à Carnot vient d'abord des échangeurs : pour céder sa chaleur, le fluide doit être plus chaud que l'eau des radiateurs, donc au-dessus de $318\mathrm{K}$, et pour en prendre dehors, plus froid que l'air, donc en dessous de $273\mathrm{K}$. Les températures qui comptent pour le fluide sont celles-là, et l'efficacité de Carnot correspondante tombe à $318/45\approx 7,1$. Frottements et détente brutale font le reste : l'efficacité réelle est environ la moitié de cette borne. D'où l'intérêt des émetteurs à basse température (plancher chauffant).

5) Deux paires de sources. Avec $300$ et $280\mathrm{K}$, $e_C=300/20=15$ ; avec $293$ et $278\mathrm{K}$, $e_C=293/15\approx 19,5$. Ce qui commande l'efficacité maximale est l'écart de température : un écart de $15\mathrm{K}$ au lieu de $20$ fait gagner près d'un tiers.

Ce que l'exercice installe. Choisir la bonne efficacité (le transfert utile au numérateur), relier efficacité et rendement par le premier principe, et combiner le théorème de Carnot avec un bilan de régime permanent. Ordre de grandeur réel : $3$ à $4$.