Le diagramme de Raveau

La stratégie. Les deux principes sur un cycle, pour le fluide (système fermé), donnent $W=-(Q_c+Q_f)$ et $\frac{Q_c}{T_c}+\frac{Q_f}{T_f}\le 0$ : chaque relation devient une droite, chaque inégalité un demi-plan.

1) La droite du travail nul. $W=0$ équivaut à $Q_f=-Q_c$ : c'est la seconde bissectrice, de pente $-1$, qui passe par l'origine. Et $W<0$ équivaut à $Q_c+Q_f>0$, soit $Q_f>-Q_c$ : la région où la machine fournit du travail est au-dessus de ${\mathcal{D}}_0$.

2) La droite de Clausius. L'inégalité s'écrit, en multipliant par $T_f>0$, $$Q_f\le -\frac{T_f}{T_c}{Q}_c=-\frac{1}{2}{Q}_c.$$ La frontière ${\mathcal{D}}_C$ est la droite passant par l'origine de pente $-T_f/T_c=-0,5$, moins inclinée que ${\mathcal{D}}_0$. La région permise est au-dessous de ${\mathcal{D}}_C$ (droite comprise : les machines réversibles) ; tout ce qui est strictement au-dessus est interdit.

3) Le moteur est le seul mode qui fournit du travail. Supposons $W<0$ et le point permis. On a à la fois $$Q_f>-Q_c\text{et}{Q}_f\le -\frac{Q_c}{2}.$$ En enchaînant les deux : $-Q_c<-\frac{Q_c}{2}$, c'est-à-dire $\frac{Q_c}{2}>0$, donc $Q_c>0$. Alors la seconde inégalité donne $Q_f\le -\frac{Q_c}{2}<0$, donc $Q_f<0$. Conclusion : une machine ditherme qui fournit du travail reçoit nécessairement de la chaleur de la source chaude et en rejette nécessairement à la source froide. C'est le coin compris entre ${\mathcal{D}}_0$ et ${\mathcal{D}}_C$, du côté des $Q_c$ positifs.

4) Les récepteurs : trois modes, pas quatre. Supposons $W>0$, soit $Q_f<-Q_c$, avec toujours $Q_f\le -Q_c/2$. On passe en revue les quatre combinaisons de signes.

• $Q_c>0$ et $Q_f>0$ : alors $Q_f<-Q_c<0$, ce qui contredit $Q_f>0$. Impossible.
• $Q_c<0$ et $Q_f>0$ : le fluide prend de la chaleur à la source froide et en cède à la chaude, en recevant du travail. La contrainte de Clausius $Q_f\le |Q_c|/2$ est la plus forte des deux, et elle est satisfaisable. C'est le réfrigérateur si l'utile est $Q_f$, la pompe à chaleur si l'utile est $-Q_c$ : un seul et même mode, deux usages.
• $Q_c<0$ et $Q_f<0$ : le fluide reçoit du travail et cède de la chaleur aux deux sources. Les deux contraintes sont satisfaites. C'est un radiateur : le travail est intégralement dissipé, comme dans une résistance électrique ou l'agitateur de l'exercice 1.
• $Q_c>0$ et $Q_f<0$ avec $Q_f<-Q_c$ : le fluide reçoit du travail et de la chaleur de la source chaude, et rejette tout à la source froide. Il accomplit ce qu'un simple contact thermique ferait gratuitement — faire passer la chaleur du chaud vers le froid — tout en gaspillant du travail.

Il y a donc exactement trois modes récepteurs permis. Personne ne construit les deux derniers : une résistance ou un simple contact thermique font la même chose sans cycle. Seul le mode réfrigérateur et pompe à chaleur fait remonter la chaleur du froid vers le chaud.

5) Lire le travail sur le diagramme. Le moteur réel est au point $(1000;-700)$ ; le moteur de Carnot de même $Q_c$ est sur ${\mathcal{D}}_C$, au point $(1000;-500)$. À l'abscisse $Q_c=1000\mathrm{J}$, la droite ${\mathcal{D}}_0$ passe par l'ordonnée $-1000\mathrm{J}$. Puisque $-W=Q_c+Q_f=Q_f-(-Q_c)$, le travail fourni est l'écart vertical entre le point et la droite ${\mathcal{D}}_0$ : $$-W_{\text{reˊel}}=-700-(-1000)=300\mathrm{J},-W_{\text{Carnot}}=-500-(-1000)=500\mathrm{J}.$$ Les rendements sont $0,30$ et $0,50$. L'écart vertical entre les deux points, $200\mathrm{J}$, est le travail que le moteur réel a perdu : à même chaleur reçue, il rejette $200\mathrm{J}$ de plus à la source froide.

Ce que l'exercice installe. Discuter par les signes, dans un plan où chaque principe est une droite : c'est la manière la plus sûre de savoir ce qui est permis.