Moteur entre deux sources de capacité finie

1) Pourquoi des cycles élémentaires. Le rendement de Carnot suppose deux thermostats, de températures fixées. Ici, le bloc chaud se refroidit à mesure qu'il cède de la chaleur et le bloc froid se réchauffe : les « sources » changent de température pendant le fonctionnement, et il n'y a pas un ${\eta }_C$ mais une suite de valeurs, qui tend vers $0$ quand les deux températures se rejoignent. Sur un cycle élémentaire, chaque bloc échange une chaleur infinitésimale et garde une température pratiquement constante : il se comporte comme un thermostat à sa température actuelle.

Système et transformation : le fluide du moteur, fermé, sur un cycle élémentaire. Ses fonctions d'état reviennent à leur valeur : $$\delta W+\delta Q_1+\delta Q_2=0,\frac{\delta Q_1}{T_1}+\frac{\delta Q_2}{T_2}+\delta S_{\text{creˊeˊ}}=0.$$ Le bloc chaud reçoit $-\delta Q_1$, et il n'échange rien d'autre : $C\mathrm{d}{T}_1=-\delta Q_1$ ; de même $C\mathrm{d}{T}_2=-\delta Q_2$.

2) Le produit constant. Moteur réversible : $\delta S_{\text{creˊeˊ}}=0$. En reportant les échanges des blocs, $$-\frac{C\mathrm{d}{T}_1}{T_1}-\frac{C\mathrm{d}{T}_2}{T_2}=0⟺\mathrm{d}(\ln T_1+\ln T_2)=0⟺T_1{T}_2=\text{cte}.$$ Une seconde lecture, plus globale. Le système formé des deux blocs et du fluide n'échange que du travail avec l'extérieur. Sur un nombre entier de cycles du fluide, $\Delta S_{\text{fluide}}=0$, et avec l'expression donnée $$\Delta S=C\ln \frac{T_1^{\prime }}{T_1}+C\ln \frac{T_2^{\prime }}{T_2}=C\ln \frac{T_1^{\prime }{T}_2^{\prime }}{T_1{T}_2}=S_{\text{creˊeˊ}},$$ qui est nul pour un moteur réversible. À la fin, les deux températures sont égales à $T_{\mathrm{fin}}$ : $$T_{\mathrm{fin}}^2=T_1{T}_2,T_{\mathrm{fin}}=\sqrt{T_1{T}_2}=\sqrt{360\times 280}\approx 317,5\mathrm{K}.$$ C'est la moyenne géométrique, et non la moyenne arithmétique.

3) Le travail total. Premier principe pour le même système formé des blocs et du fluide, de l'état initial à l'état final (le fluide ayant décrit un nombre entier de cycles) : le seul échange est le travail $W$ reçu, et $$W=\Delta U=C(T_{\mathrm{fin}}-T_1)+C(T_{\mathrm{fin}}-T_2)=-C\left(T_1+T_2-2\sqrt{T_1{T}_2}\right)=-C{\left(\sqrt{T_1}-\sqrt{T_2}\right)}^2.$$ Le travail fourni est donc $$W_{\text{max}}=C{\left(\sqrt{T_1}-\sqrt{T_2}\right)}^2=4180\times {\left(18,974-16,733\right)}^2\approx 21,0\mathrm{kJ}.$$ On l'appelle maximal parce que, comme on le verra au 6), tout moteur réel fournit moins.

4) Le rendement global. Le bloc chaud cède $Q_1=C(T_1-T_{\mathrm{fin}})\approx 4180\times 42,5\approx 177,7\mathrm{kJ}$. Alors $$\frac{W_{\text{max}}}{Q_1}=\frac{{\left(\sqrt{T_1}-\sqrt{T_2}\right)}^2}{T_1-\sqrt{T_1{T}_2}}=\frac{{\left(\sqrt{T_1}-\sqrt{T_2}\right)}^2}{\sqrt{T_1}\left(\sqrt{T_1}-\sqrt{T_2}\right)}=1-\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}\approx 0,118.$$ C'est environ la moitié de $1-T_2/T_1\approx 0,222$, le rendement de Carnot calculé avec les températures initiales. Pas de contradiction : le rendement instantané $1-T_2/T_1$ baisse jusqu'à zéro, et le rendement global en est une moyenne. Cas limite : si les deux températures sont voisines, $T_2=T_1(1-\epsilon )$, alors $1-\sqrt{1-\epsilon }\approx \epsilon /2$, la moitié de ${\eta }_C=\epsilon$ : c'est bien la moyenne entre la valeur initiale et zéro.

5) Le contact direct. Système : les deux blocs, isolés ; transformation : de l'état initial à l'équilibre thermique. Aucun travail, aucun échange : $\Delta U=0$, donc $C(T_m-T_1)+C(T_m-T_2)=0$ et $T_m=(T_1+T_2)/2=320\mathrm{K}$. Le bilan d'entropie du système isolé donne $$S_{\text{creˊeˊ}}=\Delta S=C\ln \frac{T_m^2}{T_1{T}_2}=4180\times \ln \frac{320^2}{360\times 280}\approx 65,8\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}>0.$$ Le signe est le bon : la moyenne arithmétique dépasse la moyenne géométrique, donc le rapport est supérieur à $1$. Le travail récupéré est nul : les $21\mathrm{kJ}$ qu'un moteur réversible aurait fournis sont restés dans les blocs sous forme d'énergie interne, d'où une température finale plus haute, $320$ au lieu de $317,5\mathrm{K}$ (et l'on vérifie : $2C\times 2,5\mathrm{K}\approx 21\mathrm{kJ}$).

6) Le moteur réel. Avec $S_{\text{creˊeˊ}}>0$, le bilan global du 2) donne $C\ln (T_{\mathrm{fin}}^2/(T_1{T}_2))=S_{\text{creˊeˊ}}>0$, donc $T_{\mathrm{fin}}>\sqrt{T_1{T}_2}$ : la fonction $T\mapsto C\ln T$ est croissante, et une entropie finale plus grande impose une température finale plus grande. Le travail fourni, $C(T_1+T_2-2T_{\mathrm{fin}})$, est alors plus petit que $W_{\text{max}}$. Les deux cas extrêmes encadrent tout moteur réel : $317,5\mathrm{K}\le T_{\mathrm{fin}}\le 320\mathrm{K}$, et $0\le W_{\text{fourni}}\le 21,0\mathrm{kJ}$.

Ce que l'exercice installe. Quand les sources ne sont pas des thermostats, on raisonne sur des cycles élémentaires, ou sur le système global formé des sources et du fluide par extensivité de l'entropie.