Problème : le cycle de Beau de Rochas

1) Du moteur au cycle. Les temps. Premier temps, l'admission, à pression voisine de la pression atmosphérique. Deuxième temps, la compression : $A\to B$. Au point mort haut, la combustion, si rapide que le piston n'a pas le temps de bouger : $B\to C$. Troisième temps, la détente, le seul moteur : $C\to D$. La soupape d'échappement s'ouvre alors et la pression chute à volume pratiquement constant ; l'isochore $D\to A$ représente ensemble cette chute, le quatrième temps (échappement) et l'admission suivante.

Les hypothèses. (i) La quantité de gaz est constante (l'essence ne pèse qu'environ un quinzième de la masse d'air) et l'on assimile mélange et gaz brûlés à de l'air, gaz parfait de $\gamma$ constant. (ii) La combustion est remplacée par un transfert thermique $Q_{BC}$ reçu d'une source extérieure. (iii) Les gaz brûlés expulsés en $D$ sont remplacés par des gaz frais en $A$ : on remplace cet échange de matière par un refroidissement isochore du même gaz, qui le ramène dans l'état $A$. Les travaux d'admission et d'échappement, à peu près à la même pression et en sens opposés, se compensent. Le système est alors fermé et décrit un cycle.

Le diagramme. En $(P,V)$ : de $A$ (grand volume, basse pression), l'adiabatique monte vers la gauche jusqu'à $B$ ; le segment vertical $BC$ ; l'adiabatique redescend vers la droite jusqu'à $D$, au-dessus de la courbe de compression ; le segment vertical $DA$. Le sens est horaire : la détente se fait à plus haute pression que la compression, $W<0$, le cycle est moteur.

2) La loi de Laplace. Pour un gaz parfait de $\gamma$ constant, au cours d'une transformation adiabatique et réversible, $P{V}^{\gamma }=\text{cte}$, et de façon équivalente $T{V}^{\gamma -1}=\text{cte}$. Ces conditions sont celles du modèle sur $AB$ et $CD$. Donc $$T_A{V}_A^{\gamma -1}=T_B{\left(\frac{V_A}{a}\right)}^{\gamma -1}⟹T_B=T_A{a}^{\gamma -1},$$ $$T_C{\left(\frac{V_A}{a}\right)}^{\gamma -1}=T_D{V}_A^{\gamma -1}⟹T_D=T_C{a}^{1-\gamma }.$$ Numériquement, $a^{\gamma -1}=9,5^{0,4}\approx 2,461$ : $$T_B\approx 300\times 2,461\approx 738\mathrm{K},T_D\approx \frac{2200}{2,461}\approx 894\mathrm{K},$$ $$P_B=P_A{a}^{\gamma }=9,5^{1,4}\times 1,0\mathrm{bar}\approx 23,4\mathrm{bar}.$$ La pression maximale, en $C$, vaut $P_B{T}_C/T_B\approx 70\mathrm{bar}$ : l'ordre de grandeur des pressions de combustion d'un moteur réel.

3) Les échanges et le rendement. Sur les isochores, $W=0$, donc $Q=\Delta U=C_{V,m}\Delta T$ pour une mole : $$Q_{BC}=C_{V,m}(T_C-T_B)>0,Q_{DA}=C_{V,m}(T_A-T_D)<0.$$ Sur les adiabatiques, $Q=0$. Le premier principe sur le cycle donne $W=-(Q_{BC}+Q_{DA})$. Le transfert payé est $Q_{BC}$ : $$\eta =\frac{-W}{Q_{BC}}=1+\frac{Q_{DA}}{Q_{BC}}=1-\frac{T_D-T_A}{T_C-T_B}.$$ Or, par le 2), $T_D=T_C{a}^{1-\gamma }$ et $T_A=T_B{a}^{1-\gamma }$ : en soustrayant, $T_D-T_A=a^{1-\gamma }(T_C-T_B)$. Le rapport se simplifie : $$\boxed{\eta =1-a^{1-\gamma }=1-\frac{T_A}{T_B}}.$$ Le rendement ne dépend que du rapport volumétrique $a$ (et de $\gamma$) : ni de $T_C$, ni de la quantité d'essence brûlée.

4) Application numérique et réalité. Pour une mole : $$Q_{BC}=20,79\times (2200-738)\approx 30,4\mathrm{kJ},Q_{DA}=20,79\times (300-894)\approx -12,3\mathrm{kJ},$$ $$W=-(Q_{BC}+Q_{DA})\approx -18,0\mathrm{kJ},$$ et $\eta =1-9,5^{-0,4}\approx 0,594$, ce que confirme $18,0/30,4$. Un moteur réel atteint $0,30$ à $0,36$ : à peine plus de la moitié. Causes de l'écart : les pertes thermiques par les parois refroidies (les étapes ne sont pas adiabatiques) ; une combustion ni instantanée ni complète ; les frottements ; le travail d'aspiration et de refoulement des gaz ; un $\gamma$ réel inférieur à $1,4$ dans les gaz chauds.

5) Carnot et l'entropie créée. Le rendement de Carnot entre les températures extrêmes du cycle vaut ${\eta }_{\text{Carnot}}=1-T_A/T_C=1-300/2200\approx 0,864$. Comme $T_B<T_C$, on a bien $\eta =1-T_A/T_B<1-T_A/T_C$ : $0,594<0,864$, conformément au théorème de Carnot.

Le bilan d'entropie. Système : la mole d'air, sur un cycle, avec une source chaude à $T_C$ et une source froide à $T_A$. Puisque $\Delta S=0$, $$S_{\text{creˊeˊ}}=-\frac{Q_{BC}}{T_C}-\frac{Q_{DA}}{T_A}=-\frac{30382}{2200}+\frac{12346}{300}\approx -13,8+41,2\approx 27,3\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}>0.$$ On vérifie avec la relation de l'écart à Carnot : ${\eta }_{\text{Carnot}}-T_A{S}_{\text{creˊeˊ}}/Q_{BC}=0,864-300\times 27,3/30382\approx 0,594$.

La localisation. Sur les adiabatiques réversibles, l'expression donnée s'écrit $S=C_{V,m}\ln \left(T{V}^{\gamma -1}\right)+\text{cte}$, puisque $R=C_{V,m}(\gamma -1)$ : elle est constante, et ces étapes ne créent rien. Tout est créé sur les isochores. Pendant $B\to C$, le gaz, dont la température monte de $738$ à $2200\mathrm{K}$, reçoit de la chaleur d'une source à $2200\mathrm{K}$ : $$S_{\text{creˊeˊ},BC}=C_{V,m}\ln \frac{T_C}{T_B}-\frac{Q_{BC}}{T_C}\approx 22,7-13,8\approx 8,9\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}.$$ Pendant $D\to A$, le gaz, refroidi de $894$ à $300\mathrm{K}$, cède de la chaleur à une source à $300\mathrm{K}$ : $$S_{\text{creˊeˊ},DA}=C_{V,m}\ln \frac{T_A}{T_D}-\frac{Q_{DA}}{T_A}\approx -22,7+41,2\approx 18,5\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}.$$ La somme redonne $27,3\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}$. L'irréversibilité est celle des transferts thermiques sous écart fini de température, et c'est surtout le rejet de gaz encore très chauds, à près de $900\mathrm{K}$, qui coûte : deux fois plus que la « combustion ». (Le modèle ne décrit pas l'irréversibilité chimique de la combustion réelle.)

6) Pourquoi pas un rapport volumétrique plus grand. Le rendement croît avec $a$ ($0,60$ pour $a=10$, $0,70$ pour $a=20$), mais la température de fin de compression $T_B=T_A{a}^{\gamma -1}$ aussi : environ $750\mathrm{K}$ pour $a=10$, près de $1000\mathrm{K}$ pour $a=20$. Au-delà d'un seuil, le mélange s'enflamme spontanément avant l'étincelle : c'est le cliquetis, qui peut endommager gravement le moteur. L'indice d'octane mesure la résistance d'un carburant à cette auto-inflammation. Le moteur Diesel ne comprime que de l'air, et peut monter à $a\approx 15$ à $20$. Le gazole est injecté en fin de compression, dans un air assez chaud pour qu'il s'enflamme de lui-même : l'auto-inflammation, ennemie du moteur à essence, devient le mode d'allumage du Diesel. D'où son meilleur rendement, malgré une combustion plus lente, mieux modélisée par une isobare.

Le résultat établi — rendement du cycle de Beau de Rochas. Un moteur décrivant le cycle de Beau de Rochas — deux adiabatiques réversibles et deux isochores — avec un gaz parfait de $\gamma$ constant a pour rendement $\eta =1-a^{1-\gamma }$, où $a$ est le rapport volumétrique ; ce rendement est strictement inférieur à celui de Carnot entre les températures extrêmes du cycle, parce que les échanges thermiques se font sous un écart fini de température. Beau de Rochas en a décrit le principe en 1862 ; Otto a construit le premier moteur à quatre temps en 1876 (« cycle d'Otto »).

Ce que le problème installe. La démarche complète de la modélisation : dire ce qu'on remplace par quoi (combustion par un transfert thermique, renouvellement des gaz par une isochore, mélange par de l'air), vérifier les conditions de chaque loi utilisée (Laplace), calculer les échanges sur chaque chemin, puis confronter le résultat à la réalité et au théorème de Carnot. L'entropie créée par étape dit où le moteur perd.