thermodynamique statistique (MP) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Chauffer une pièce : l'énergie interne de l'air ne bouge pas

Capacités thermiques classiques des gaz et des solides · C. Application au gaz parfait diatomique · niveau 2

Énoncé

Une pièce de volume $V = 50 m^{3}$ , non étanche, communique avec l'extérieur par les fentes des portes et des fenêtres : la pression de son air reste égale à la pression atmosphérique $P = 1013 hPa$ . Un radiateur fait passer l'air de la pièce de $10^{\circ} C$ à $20^{\circ} C$ . L'air est un gaz parfait diatomique, de masse molaire $M = 28, 96 g mo l^{- 1}$ (21 % de dioxygène, 78 % de diazote) ; on prend $U = \frac{5}{2} n R T$ pour son énergie interne.

1) Exprimer l'énergie interne de l'air contenu dans la pièce en fonction de $P$ et $V$ seulement. La calculer à $10^{\circ} C$ et à $20^{\circ} C$ . Qu'a-t-on stocké dans l'air de la pièce en le chauffant ?

2) Calculer la quantité de matière et la masse d'air dans la pièce aux deux températures. Que s'est-il passé ?

3) Pièce étanche (cas limite). Si la pièce était parfaitement close, quelle chaleur faudrait-il fournir à l'air pour le chauffer de $10^{\circ} C$ à $20^{\circ} C$ ? Que deviendrait la pression ? Pièce réelle. Pendant une élévation $d T$ , les $n (T) = P V / R T$ moles présentes dans la pièce forment un système fermé qui s'échauffe à pression constante en repoussant une partie de lui-même au-dehors. Montrer que la chaleur reçue par l'air vaut $Q = \frac{7}{2} P V ln \frac{T _{2}}{T _{1}}$ et la calculer. La comparer à l'énergie que fournit un radiateur de $1 kW$ en une heure.

4) On a supposé la vibration des molécules gelée. À 293 K, la vibration apporte à $C_{V, m}$ une contribution de $0, 028 R$ pour $O_{2}$ et de $0, 0014 R$ pour $N_{2}$ (données). Évaluer l'erreur relative commise sur la capacité thermique de l'air, et la justifier en comparant $T$ aux températures caractéristiques de vibration ( $2240 K$ pour $O_{2}$ , $3350 K$ pour $N_{2}$ ).

5) Pourquoi chauffe-t-on, alors ? Où va l'essentiel de l'énergie du radiateur ?

Corrigé

La stratégie. Pour un gaz parfait, $U = \frac{5}{2} n R T$ et $P V = n R T$ se combinent en une expression où la température disparaît. On compte ensuite les moles, puis on fait le bilan de la chaleur à $P$ constante sur le système fermé que constitue, à chaque instant, l'air présent.

1) $U = \frac{5}{2} P V$ . Puisque $n R T = P V$ , $U = \frac{5}{2} n R T = \frac{5}{2} P V$ . À pression et volume fixés, l'énergie interne de l'air de la pièce ne dépend pas de la température : $U = \frac{5}{2} \times 1, 013 \times 1 0^{5} \times 50 = 1, 27 \times 1 0^{7} J = 12, 7 MJ a ˋ 10^{\circ} C comme a ˋ 20^{\circ} C .$ On n'a rien stocké dans l'air de la pièce : il contient la même énergie interne, portée par moins de molécules plus agitées.

2) L'air chassé. $n_{10} = \frac{P V}{R T _{1}} = \frac{5 , 065 \times 1 0 ^{6}}{8 , 314 \times 283 , 15} = 2151 mol (62, 3 kg),$ $n_{20} = \frac{5 , 065 \times 1 0 ^{6}}{8 , 314 \times 293 , 15} = 2078 mol (60, 2 kg) .$ $2, 1 kg$ d'air (73 mol) sont sortis par les fuites. Chaque molécule restante a gagné de l'énergie ( $\frac{5}{2} k_{B} T$ augmente de 3,5 %), mais le nombre de molécules a baissé exactement dans la même proportion ( $n \propto 1/ T$ ) : l'énergie du chauffage est partie avec l'air chassé.

3) La chaleur reçue par l'air. Pièce étanche : $n = n_{10}$ fixé, transformation isochore, $Q_{V} = n C_{V, m} Δ T = 2151 \times \frac{5}{2} \times 8, 314 \times 10 = 4, 47 \times 1 0^{5} J \approx 0, 45 MJ$ ; la pression monterait comme $T$ , de $293, 15/283, 15 = 1, 035$ , soit $+ 3, 5 %$ (35 hPa : les portes « tirent »). Ici $U$ augmente bien de $0, 45 MJ$ . Pièce réelle : pendant $d T$ , le système fermé des $n (T)$ moles présentes s'échauffe à pression constante ; la chaleur reçue est sa variation d'enthalpie, $δ Q = n (T) C_{P, m} d T = \frac{P V}{R T} \frac{7}{2} R d T = \frac{7}{2} P V \frac{d T}{T}$ . En intégrant, $Q = \frac{7}{2} P V ln \frac{T _{2}}{T _{1}} = \frac{7}{2} \times 5, 065 \times 1 0^{6} \times ln \frac{293 , 15}{283 , 15} = 6, 2 \times 1 0^{5} J \approx 0, 62 MJ .$ C'est la chaleur reçue par l'air ; l'énergie interne de la pièce étant constante, ces $0, 62 MJ$ sortent avec l'air chassé (sous forme d'enthalpie). Un radiateur de 1 kW fournit $3, 6 MJ$ en une heure : l'air n'en prend qu'un sixième.

4) La vibration est bien gelée. Pour l'air, la contribution de la vibration vaut $0, 21 \times 0, 028 R + 0, 78 \times 0, 0014 R = 0, 0070 R$ , à comparer à $\frac{5}{2} R$ : l'erreur relative est de $0, 3 %$ . C'est cohérent avec la comparaison des températures : $T = 293 K$ est 8 fois plus petite que $2240 K$ et 11 fois plus petite que $3350 K$ , les états de vibration excités ont des facteurs de Boltzmann de l'ordre de $e^{- 8}$ et $e^{- 11}$ . Le modèle à cinq degrés est validé à mieux que 1 %.

5) À quoi sert le chauffage. Nous percevons la température, c'est-à-dire l'énergie moyenne par molécule, qui règle les échanges thermiques de notre peau, et non l'énergie de l'air. L'essentiel de l'énergie du radiateur chauffe les murs, les meubles et l'air renouvelé, et compense les pertes à travers les parois.

Ce que l'exercice installe. Le dénombrement donne $U = \frac{5}{2} n R T$ pour un gaz diatomique, et l'on valide l'hypothèse « vibration gelée » en comparant $T$ à la température caractéristique (correction de $0, 3 %$ ). Combiné à $P V = n R T$ , il donne $U = \frac{5}{2} P V$ : à $P$ et $V$ fixés, chauffer ne stocke rien dans l'air, qui s'échappe ; la chaleur reçue par l'air restant se calcule par un bilan isobare sur un système fermé qui change à chaque instant.

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