Fluctuations et capacité thermique d'un oscillateur

Capacités thermiques classiques des gaz et des solides · niveau 2

Énoncé

Le cours sur les systèmes à spectre discret relie la capacité thermique aux fluctuations d'énergie : $C = \frac{⟨ ε ^{2} ⟩ - ⟨ ε ⟩ ^{2}}{k _{B} T ^{2}}$ . Vérifier cette relation pour un degré de liberté quadratique classique $ε = a x^{2}$ , dont on a établi $⟨ ε ⟩ = \frac{1}{2} k_{B} T$ . On donne $\int_{- \infty}^{+ \infty} u^{4} e^{- u^{2}} d u = \frac{3}{4} π$ et $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- u^{2}} d u = π$ .

Corrigé

Avec le changement de variable $x = u k_{B} T / a$ de la démonstration du théorème, $ε^{2} = a^{2} x^{4} = (k_{B} T)^{2} u^{4}$ et

$⟨ ε^{2} ⟩ = (k_{B} T)^{2} \frac{\int u ^{4} e ^{- u^{2}} d u}{\int e ^{- u^{2}} d u} = \frac{3}{4} (k_{B} T)^{2},$

d'où la variance

$⟨ ε^{2} ⟩ - ⟨ ε ⟩^{2} = \frac{3}{4} (k_{B} T)^{2} - \frac{1}{4} (k_{B} T)^{2} = \frac{1}{2} (k_{B} T)^{2} .$

La formule des fluctuations donne alors

$C = \frac{\frac{1}{2} ( k _{B} T ) ^{2}}{k _{B} T ^{2}} = \frac{1}{2} k_{B},$

soit exactement la contribution $\frac{1}{2} k_{B}$ attendue d'un degré de liberté quadratique (dérivée de $\frac{1}{2} k_{B} T$ ). Les deux approches sont cohérentes. L'écart quadratique relatif, $\frac{1}{2} (k_{B} T) / \frac{1}{2} k_{B} T = 2$ , est de l'ordre de $1$ pour un seul degré : c'est pour $N$ degrés qu'il devient petit, en $1/ N$ .