Le bruit thermique des instruments : mesurer $k_B$ avec un miroir, une raideur avec un levier

La stratégie. Un objet macroscopique en équilibre avec un gaz ou un solide à la température $T$ est une « particule » comme une autre : son degré de liberté de rotation ou de flexion, s'il est quadratique, reçoit $\frac{1}{2}{k}_{B}T$ en moyenne. On en tire $⟨{\theta }^2⟩$ ou $⟨z^2⟩$, c'est-à-dire un bruit, et, inversement, $k_B$ ou une raideur à partir du bruit mesuré.

1) Équipartition pour un angle. Les molécules du gaz frappent le miroir au hasard ; les chocs ne se compensent pas exactement à chaque instant, et le miroir, en équilibre thermique avec le gaz, fluctue autour de sa position d'équilibre. C'est le mouvement brownien de rotation. L'énergie de torsion $\frac{1}{2}D{\theta }^2$ est quadratique en $\theta$, variable continue ; le degré est actif (les niveaux d'un oscillateur de période de plusieurs secondes sont espacés de $\hslash \omega \sim 10^{-34}\mathrm{J}$, infiniment moins que $k_{B}T\approx 4\times 10^{-21}\mathrm{J}$). Donc $$\frac{1}{2}D⟨{\theta }^2⟩=\frac{1}{2}{k}_{B}T,⟨{\theta }^2⟩=\frac{k_{B}T}{D}.$$ Le terme cinétique $\frac{1}{2}J{\dot{\theta }}^2$ est quadratique en $\dot{\theta }$ : il reçoit lui aussi $\frac{1}{2}{k}_{B}T$, mais on ne mesure ici que la position.

2) La constante de Boltzmann. Quand le miroir tourne de $\theta$, le rayon réfléchi tourne de $2\theta$ (loi de la réflexion) ; pour de petits angles, $d=2L\theta$. Donc $$⟨{\theta }^2⟩=\frac{⟨d^2⟩}{4L^2}=\frac{1,250\times 10^{-5}}{4\times 0,865^2}=4,177\times 10^{-6}\mathrm{ra}{\mathrm{d}}^2,{\theta }_{\mathrm{rms}}=2,04\times 10^{-3}\mathrm{rad}.$$ Le spot s'agite de quelques millimètres sur l'échelle ($d_{\mathrm{rms}}=\sqrt{1,250\times 10^{-5}}=3,5\mathrm{mm}$) : c'est parfaitement lisible. Puis $$k_B=\frac{D⟨{\theta }^2⟩}{T}=\frac{9,428\times 10^{-16}\times 4,177\times 10^{-6}}{287,1}=1,372\times 10^{-23}\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1},$$ $${\mathcal{N}}_A=\frac{R}{k_B}=\frac{8,314}{1,372\times 10^{-23}}=6,06\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}.$$ Les valeurs actuelles sont $1,3806\times 10^{-23}$ et $6,022\times 10^{23}$ : l'écart est de $0,6\%$, remarquable pour une expérience qui « voit » l'agitation moléculaire à l'œil nu sur une échelle. C'est une mesure de ${\mathcal{N}}_A$ par l'équipartition, indépendante de celle de Perrin, qui passe par le poids de Boltzmann dans une suspension.

3) Ni masse, ni inertie, ni amortissement. $⟨{\theta }^2⟩=k_{B}T/D$ ne contient que la raideur et la température : l'équipartition est une propriété de l'équilibre, indépendante de la dynamique. La pression ne change que l'allure du mouvement : marche irrégulière dans l'air, oscillations presque libres d'amplitude lentement variable dans un gaz raréfié ; la moyenne quadratique est la même, ce que Kappler a vérifié en pompant son enceinte.

4) Le bruit d'un levier souple. Le même raisonnement donne $\frac{1}{2}{k}_c⟨z^2⟩=\frac{1}{2}{k}_{B}T$, donc $z_{\mathrm{rms}}=\sqrt{k_{B}T/k_c}$ avec $k_{B}T=1,381\times 10^{-23}\times 295=4,07\times 10^{-21}\mathrm{J}$ : $$k_c=0,1\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}:z_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{4,07\times 10^{-21}}{0,1}}=2,0\times 10^{-10}\mathrm{m}=0,20\mathrm{nm};$$ $$k_c=0,01\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}:z_{\mathrm{rms}}=0,64\mathrm{nm}.$$ C'est de l'ordre du diamètre d'un atome : un levier au repos ne peut pas être plus calme que $\sqrt{k_{B}T/k_c}$. Pour réduire ce bruit, il faut refroidir ou raidir le levier, au prix de la sensibilité aux forces faibles.

5) Étalonner une raideur par son bruit. Avec la formule pratique donnée, $$k_c=0,82\times \frac{4,07\times 10^{-21}}{(0,18\times 10^{-9}{)}^2}=0,82\times \frac{4,07\times 10^{-21}}{3,24\times 10^{-20}}\approx 0,10\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}.$$ Sans le facteur de forme, on aurait $0,126\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$ : l'équipartition seule donne l'ordre de grandeur, sans masse étalon ni force connue.

6) Le levier raide. Pour $k_c=40\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$, $z_{\mathrm{rms}}=\sqrt{4,07\times 10^{-21}/40}=1,0\times 10^{-11}\mathrm{m}=0,010\mathrm{nm}$, deux fois moins que le bruit propre de la détection. Le bruit thermique est noyé : la méthode est réservée aux leviers souples, et les leviers raides s'étalonnent autrement. La figure trace $z_{\mathrm{rms}}=\sqrt{k_{B}T/k_c}$ en coordonnées logarithmiques (pente $-\frac{1}{2}$) avec les trois leviers de l'exercice.

Ce que l'exercice installe. L'équipartition s'applique à tout degré quadratique en équilibre thermique, y compris celui d'un objet macroscopique : $\frac{1}{2}D⟨{\theta }^2⟩=\frac{1}{2}{k}_{B}T$, $\frac{1}{2}{k}_c⟨z^2⟩=\frac{1}{2}{k}_{B}T$. Le bruit thermique d'un instrument au repos vaut $\sqrt{k_{B}T/\text{raideur}}$, indépendamment de la masse et de l'amortissement ; mesuré, il donne $k_B$ (Kappler) ou une raideur (étalonnage des leviers).