Approfondissement (hors programme) — L'ailette de refroidissement

Diffusion thermique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une tige d'aluminium ( $λ = 200 W / m / K$ ) de section carrée $5 mm$ $\times$ $5 mm$ est fixée sur une paroi à $T_{0}$ et baignée par de l'air à $T_{f}$ . Sa surface latérale cède à l'air la densité de flux $h (T - T_{f})$ (loi de Newton, donnée), avec $h = 15 W / m^{2} / K$ . On suppose la température uniforme sur chaque section, $T (x)$ , et l'ailette très longue. On pose $θ = T - T_{f}$ , $θ_{0} = T_{0} - T_{f} = 50 K$ .

Par un bilan sur la tranche $[x, x + d x]$ (conduction axiale, pertes latérales), établir $\frac{d ^{2} θ}{d x ^{2}} = \frac{θ}{δ ^{2}}$ avec $δ = \frac{λ S}{h p}$ ( $p$ : périmètre). Calculer $δ$ .
En déduire $θ (x)$ , puis la puissance évacuée par l'ailette. La comparer à celle qu'évacuerait la seule section $S$ de la paroi sans ailette.

Corrigé

1. En régime stationnaire, la tranche reçoit par conduction $Φ (x) - Φ (x + d x) = λ S \frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} d x$ et cède à l'air $h p d x (T - T_{f})$ : $λ S \frac{d ^{2} θ}{d x ^{2}} = h p θ$ . Avec $S = 2.5 \times 1 0^{- 5} m^{2}$ et $p = 0.02 m$ : $δ = \frac{200 \times 2 , 5 \times 1 0 ^{- 5}}{15 \times 0 , 02} = 0.129 m$ .

2. Les solutions sont $e^{\pm x / δ}$ ; pour une ailette longue, $θ$ reste bornée : $θ = θ_{0} e^{- x / δ}$ (l'hypothèse « longue » demande une longueur de quelques $δ$ , soit une trentaine de centimètres). Tout ce qui entre à la base est évacué par la surface latérale :

$Φ = - λ S \frac{d θ}{d x} (0) = \frac{λ S θ _{0}}{δ} = λ S h p θ_{0} = 1.94 W,$

contre $h S θ_{0} = 0.019 W$ par la seule section : un facteur $100$ . L'ailette multiplie la surface d'échange ; elle n'est utile que si $λ S h p ≫ h S$ , c'est-à-dire $\frac{h S}{λ p} ≪ 1$ (ici $1 0^{- 4}$ ) : le métal doit conduire bien mieux que l'air n'échange.