Coquille sphérique

Bilan sur la coquille $[r,r+\mathrm{d}r]$ en régime stationnaire sans source : le flux $\Phi =-\lambda (4\pi r^2)\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}$ est indépendant de $r$. En séparant : $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=-\frac{\Phi }{4\pi \lambda }\frac{1}{r^2}$, d'où par intégration de $R_1$ à $R_2$ : $T_1-T_2=\frac{\Phi }{4\pi \lambda }\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)$. On identifie

$$R_{\mathrm{th}}=\frac{1}{4\pi \lambda }\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)=\frac{R_2-R_1}{\lambda 4\pi R_1{R}_2}.$$

Le profil $T(r)$ varie en $1/r$. La résistance est celle d'un mur d'épaisseur $R_2-R_1$ dont l'aire est la moyenne géométrique $4\pi R_1{R}_2$ des aires des deux faces.