thermodynamique : transferts thermiques (MPI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

La fenêtre : simple ou double vitrage, buée et part des pertes

Diffusion thermique · E. Conditions aux limites et transfert conducto-convectif · niveau 3 (difficile)

Énoncé

L'air intérieur est à $T_{ai} = 20^{\circ} C$ , l'air extérieur à $T_{a e} = 0^{\circ} C$ , en régime stationnaire. Loi de Newton (donnée) : une surface à $T_{s}$ cède à l'air voisin, loin de la paroi à $T_{a}$ , la densité de flux $j = h (T_{s} - T_{a})$ . Les règles de calcul du bâtiment prennent des valeurs conventionnelles, qui regroupent convection et rayonnement : $h_{i} = 7, 7 W m^{- 2} K^{- 1}$ côté intérieur, $h_{e} = 25 W m^{- 2} K^{- 1}$ côté extérieur. Verre : $λ_{v} = 1, 0 W m^{- 1} K^{- 1}$ , épaisseur $4 mm$ . Contact parfait entre les couches. Température de rosée de l'air intérieur à $20^{\circ} C$ (de la buée se dépose sur une surface plus froide) :

humidité relative	$40 %$	$50 %$	$60 %$	$65 %$	$70 %$
température de rosée ( $^{\circ} C$ )	$6, 0$	$9, 3$	$12, 0$	$13, 2$	$14, 4$

1) Montrer que la loi de Newton équivaut à une résistance de surface $\frac{1}{h S}$ , en série avec celles du verre. Pour un simple vitrage, calculer la résistance d'un mètre carré, le coefficient de transmission $U = \frac{1}{r}$ (en $W m^{- 2} K^{- 1}$ ), la densité de flux et la température $T_{s i}$ de la surface intérieure du verre. Y a-t-il de la buée à $50 %$ d'humidité ?

2) Double vitrage 4-16-4. (a) Si l'air de la lame était immobile ( $λ = 0, 025 W m^{- 1} K^{- 1}$ ), que vaudraient $U$ et $T_{s i}$ ? (b) La résistance mesurée de la lame vaut $0, 19 m^{2} K W^{- 1}$ : recalculer $U$ et $T_{s i}$ . Au-delà de quelle humidité voit-on de la buée ? (c) Par quel facteur le double vitrage réduit-il les pertes ? Pourquoi la lame est-elle moins résistante que de l'air immobile ?

3) Une façade de $10 m^{2}$ comporte $2 m^{2}$ de ce double vitrage, le reste étant un mur isolé de coefficient $U_{m} = 0, 30 W m^{- 2} K^{- 1}$ . Justifier que mur et fenêtre sont en parallèle. Calculer la conductance de la façade, la puissance perdue et la part de la fenêtre. Même calcul en simple vitrage.

4) Un vitrage moderne (couche peu émissive, lame d'argon) a pour coefficient $U = 1, 1 W m^{- 2} K^{- 1}$ (donné). Que vaut $T_{s i}$ ? Conclure.

Corrigé

La stratégie. Chaque échange devient une résistance : surface intérieure, verre, lame, verre, surface extérieure en série, parce qu'un même flux les traverse en régime stationnaire ; mur et fenêtre en parallèle, parce qu'ils voient le même écart de température. La température de la surface intérieure se lit comme un diviseur ; elle décide de la buée.

1) Newton est une résistance. $Φ = h S (T_{s} - T_{a})$ s'écrit $T_{s} - T_{a} = \frac{1}{h S} Φ$ : une résistance $\frac{1}{h S}$ , soit $\frac{1}{h}$ pour un mètre carré : $r_{s i} = \frac{1}{7 , 7} = 0, 13$ et $r_{se} = \frac{1}{25} = 0, 04 m^{2} K W^{- 1}$ . Air intérieur, verre et air extérieur sont traversés par le même flux : série. Simple vitrage : $r = 0, 13 + \frac{0 , 004}{1 , 0} + 0, 04 = 0, 174 m^{2} K W^{- 1}, U = \frac{1}{r} = 5, 75 W m^{- 2} K^{- 1},$ et $j = U (T_{ai} - T_{a e}) = 115 W m^{- 2}$ . $T_{s i} = T_{ai} - r_{s i} j = 20 - 0, 13 \times 115 = 5, 1^{\circ} C < 9, 3^{\circ} C :$ la vitre se couvre de buée. Le verre lui-même ne porte que $0, 46 K$ : ce sont les résistances de surface qui isolent un simple vitrage.

2) Le double vitrage. (a) Lame d'air immobile : $\frac{0 , 016}{0 , 025} = 0, 64$ , d'où $r = 0, 13 + 2 \times 0, 004 + 0, 64 + 0, 04 = 0, 818$ , $U = 1, 22$ , $j = 24, 4 W m^{- 2}$ , $T_{s i} = 16, 8^{\circ} C$ .

(b) Lame réelle : $r = 0, 13 + 0, 008 + 0, 19 + 0, 04 = 0, 368 m^{2} K W^{- 1}$ , soit $U = 2, 72 W m^{- 2} K^{- 1}, j = 54, 3 W m^{- 2}, T_{s i} = 20 - 0, 13 \times 54, 3 = 12, 9^{\circ} C .$ La buée apparaît quand la rosée dépasse $12, 9^{\circ} C$ : entre $60 %$ ( $12, 0$ ) et $65 %$ ( $13, 2$ ), vers $64 %$ d'humidité, ce qui n'arrive que dans une pièce mal aérée (salle de bains, cuisine).

(c) Les pertes sont divisées par $\frac{5 , 75}{2 , 72} = 2, 1$ . Le calcul « couches solides seules » ( $0, 648$ contre $0, 004 m^{2} K W^{- 1}$ ) annonçait un facteur $160$ : il oubliait les résistances de surface, qui dominent le simple vitrage, et il supposait l'air de la lame immobile. Or la lame transmet aussi par convection naturelle (l'air monte le long du verre chaud, descend le long du verre froid) et surtout par rayonnement entre les deux verres, qui transporte plus des deux tiers du flux : d'où $0, 19$ au lieu de $0, 64$ .

3) La façade. Mur et fenêtre sont soumis au même écart $T_{ai} - T_{a e}$ et partagent le flux : ils sont en parallèle, les conductances $U S$ s'ajoutent. $G = U_{m} S_{m} + U_{f} S_{f} = 0, 30 \times 8 + 2, 72 \times 2 = 7, 83 W K^{- 1},$ et $P = G \times 20 = 157 W$ . La fenêtre, $20 %$ de la surface, fait $\frac{5 , 43}{7 , 83} = 69 %$ des pertes. En simple vitrage : $G = 2, 40 + 11, 49 = 13, 9 W K^{- 1}$ , $P = 278 W$ , la fenêtre faisant $83 %$ des pertes. Dans un circuit en parallèle, c'est la plus petite résistance qui commande.

4) Le vitrage moderne. $T_{s i} = 20 - 0, 13 \times 1, 1 \times 20 = 17, 1^{\circ} C$ : pas de buée tant que l'humidité reste au-dessous d'environ $80 %$ (une rosée de $17, 1^{\circ} C$ , au-delà du tableau), et une vitre presque à la température de la pièce, que l'on ne ressent plus comme une paroi froide. La fenêtre ne fait plus que $\frac{2 , 2}{4 , 6} = 48 %$ des pertes de la façade.

Ce que l'exercice installe. La loi de Newton est une résistance de surface $\frac{1}{h S}$ , en série avec les conductions. Série : même flux, résistances qui s'ajoutent ; parallèle : même écart, conductances qui s'ajoutent. La température de surface se lit comme un diviseur et décide de la buée et du confort. Un modèle se critique : la lame d'air n'est pas de l'air immobile, et le rapport annoncé par la conduction seule ( $160$ ) est faux d'un facteur $80$ .

100 % gratuit

La suite du chapitre est sur Adloun

Exercice suivant et tuteur

Sans compte : le cours, le premier QCM et 2 minutes de podcast et de vidéo. Exercices et tuteur : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Exercice suivant et tuteur →