thermodynamique : transferts thermiques (MPI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Le béton du barrage Hoover : une source de chaleur qu'on ne laisse pas refroidir seule

Diffusion thermique · C. Loi de Fourier et équation de la chaleur · niveau 2

Énoncé

Le barrage Hoover, construit de 1931 à 1936 sur le Colorado, contient $2, 48 \times 1 0^{6} m^{3}$ de béton ; il est épais de $200 m$ à sa base. En durcissant, le ciment s'hydrate et libère de la chaleur. On modélise le béton (béton plein : $λ = 1, 75 W m^{- 1} K^{- 1}$ , $ρ = 2300 kg m^{- 3}$ , $c = 1000 J k g^{- 1} K^{- 1}$ ) comme un solide de température $T$ siège d'une puissance volumique $p (t) = \frac{Q _{\infty}}{t _{h}} e^{- t / t_{h}}, Q_{\infty} = 60 MJ m^{- 3}, t_{h} = 3 jours,$ comptée à partir du coulage. La température obéit à l'équation (donnée) $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = λ Δ T + p (t)$ . Coefficient de dilatation linéique du béton : $α = 1, 0 \times 1 0^{- 5} K^{- 1}$ .

1) Sans conduction. De combien le béton s'échaufferait-il s'il ne perdait rien ? Calculer $p (0)$ . À quelle condition sur la taille $L$ d'un bloc le terme de diffusion est-il négligeable devant le terme de source pendant l'hydratation ? (Comparer leurs ordres de grandeur.)

2) Sur quelle distance la conduction agit-elle pendant $t_{h}$ ? Le béton est coulé par levées de $1, 5 m$ d'épaisseur : le cœur d'une levée s'échauffe-t-il presque comme sans conduction ?

3) Si le barrage avait été coulé d'un bloc. Une fois l'hydratation achevée, on modélise le refroidissement d'une tranche d'épaisseur $e = 200 m$ dont les faces restent à la température extérieure $T_{e}$ . On propose $T - T_{e} = θ_{m} sin \frac{π x}{e} e^{- t / τ}$ , pour $0 ⩽ x ⩽ e$ . Vérifier qu'elle satisfait l'équation sans source et les conditions aux faces, et donner $τ$ . Comparer à $\frac{L ^{2}}{D}$ avec $L = 100 m$ . De combien le barrage se contracterait-il en refroidissant, sur ses $200 m$ d'épaisseur ? Conclure.

4) La solution du chantier. Le béton a été coulé en colonnes, par levées de $1, 5 m$ , avec des tubes d'acier noyés au sommet de chaque levée, espacés de $b = 1, 5 m$ , où l'on faisait circuler de l'eau de rivière puis de l'eau réfrigérée. Estimer le temps de refroidissement du béton par les tubes. Quelle puissance faut-il extraire par mètre de tube au début de l'hydratation ? Quelle longueur totale de tubes cela représente-t-il ?

5) Quelle est l'énergie totale libérée par l'hydratation ? Le bétonnage a duré environ deux ans : quelle puissance moyenne fallait-il évacuer ? L'usine frigorifique du chantier pouvait produire l'équivalent de $1000 t$ de glace par jour (chaleur latente de fusion de la glace : $334 kJ k g^{- 1}$ ) : comparer.

Corrigé

La stratégie. Deux échelles de temps se disputent l'échauffement : celle de la source, $t_{h}$ , et celle de la diffusion, $\frac{L ^{2}}{D}$ . Si la diffusion est plus lente, la chaleur reste où elle est produite : le béton s'échauffe sans perte, puis met des siècles à refroidir. Le remède consiste à réduire $L$ en rapprochant les puits de chaleur.

1) L'échauffement sans conduction. Sans le terme $λ Δ T$ , $ρ c \frac{d T}{d t} = p (t)$ , et sur toute l'hydratation $Δ T_{ad} = \frac{1}{ρ c} \int_{0}^{\infty} p d t = \frac{Q _{\infty}}{ρ c} = \frac{60 \times 1 0 ^{6}}{2 , 3 \times 1 0 ^{6}} = 26 K .$ Au début, $p (0) = \frac{Q _{\infty}}{t _{h}} = \frac{60 \times 1 0 ^{6}}{3 \times 86 400} = 231 W m^{- 3}$ . Pendant l'hydratation, le terme de source vaut en ordre de grandeur $\frac{Q _{\infty}}{t _{h}}$ et le terme de diffusion $λ \frac{Δ T _{ad}}{L ^{2}} = \frac{λ}{ρ c} \frac{Q _{\infty}}{L ^{2}}$ ; leur rapport vaut $\frac{λ Δ T}{p} \sim \frac{D t _{h}}{L ^{2}}, D = \frac{1 , 75}{2 , 3 \times 1 0 ^{6}} = 7, 6 \times 1 0^{- 7} m^{2} s^{- 1} .$ La diffusion est négligeable si $L ≫ D t_{h}$ .

2) Une levée. $D t_{h} = 7, 6 \times 1 0^{- 7} \times 2, 6 \times 1 0^{5} = 0, 44 m$ . Pour une levée de $1, 5 m$ , la demi-épaisseur vaut $L = 0, 75 m$ et $\frac{D t _{h}}{L ^{2}} = 0, 35$ : la conduction n'évacue qu'une faible part de la production pendant qu'elle a lieu ; le cœur de la levée s'échauffe d'une bonne vingtaine de kelvins, et la levée suivante, coulée par-dessus, l'empêche ensuite de se refroidir par le haut.

3) Le bloc unique. Avec $θ = T - T_{e} = θ_{m} sin \frac{π x}{e} e^{- t / τ}$ : $\frac{\partial θ}{\partial t} = - \frac{θ}{τ}, \frac{\partial ^{2} θ}{\partial x ^{2}} = - \frac{π ^{2}}{e ^{2}} θ,$ et l'équation sans source $\frac{\partial θ}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} θ}{\partial x ^{2}}$ est satisfaite si $τ = \frac{e ^{2}}{π ^{2} D} = \frac{20 0 ^{2}}{π ^{2} \times 7 , 6 \times 1 0 ^{- 7}} = 5, 3 \times 1 0^{9} s = 170 ans .$ Aux faces, $sin 0 = sin π = 0$ : $T = T_{e}$ . L'estimation $\frac{L ^{2}}{D}$ avec $L = 100 m$ donne $420$ ans : le bon ordre de grandeur, à un facteur $\frac{π ^{2}}{4} = 2, 5$ près, qui vient de la forme exacte du profil. Les ingénieurs du chantier annonçaient plus d'un siècle : c'est bien ce qu'on trouve. Pendant ce temps, les faces froides se contractent sur un cœur chaud et fissurent ; le retrait final vaut $α Δ T_{ad} \times 200 m = 1 0^{- 5} \times 26 \times 200 = 5 cm$ .

4) Les tubes d'eau froide. Chaque tube draine un carré de béton de côté $b$ ; la chaleur la plus éloignée parcourt environ $\frac{b}{2}$ . Temps de refroidissement : $τ_{tubes} \sim \frac{( b /2 ) ^{2}}{D} = \frac{0 , 7 5 ^{2}}{7 , 6 \times 1 0 ^{- 7}} = 7, 4 \times 1 0^{5} s \approx 9 jours,$ sept mille fois moins que pour le bloc unique : ce temps ne dépend plus de la taille du barrage, seulement de l'espacement des tubes. Pour que la chaleur soit retirée à mesure qu'elle est produite, un mètre de tube doit extraire, au début, $p (0) b^{2} = 231 \times 2, 25 = 5, 2 \times 1 0^{2} W$ . Longueur totale : $\frac{V}{b ^{2}} = \frac{2 , 48 \times 1 0 ^{6}}{2 , 25} = 1, 1 \times 1 0^{6} m$ , de l'ordre du millier de kilomètres de tubes noyés dans le barrage.

5) La puissance du chantier. $E = V Q_{\infty} = 2, 48 \times 1 0^{6} \times 60 \times 1 0^{6} = 1, 5 \times 1 0^{14} J$ . Sur deux ans ( $6, 3 \times 1 0^{7} s$ ), $P = 2, 4 MW$ en moyenne. L'usine frigorifique : $\frac{1 0 ^{6} \times 3 , 34 \times 1 0 ^{5}}{86 400} = 3, 9 MW$ . Même ordre de grandeur : l'installation a été dimensionnée pour la chaleur d'hydratation (l'eau de rivière faisait une partie du travail). Ce n'est qu'un ordre de grandeur : l'hydratation dépend de la température, et la conduction vers un tube est un problème cylindrique.

Ce que l'exercice installe. Dans $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = λ Δ T + p$ , comparer le terme de diffusion au terme de source revient à comparer $\frac{L ^{2}}{D}$ au temps de la source : si $L ≫ D t_{h}$ , la matière s'échauffe sans perte ( $Δ T = \frac{Q}{ρ c}$ ). Une forme de solution proposée se vérifie et fixe le préfacteur ( $τ = \frac{e ^{2}}{π ^{2} D}$ ). Pour refroidir vite, on ne change pas $D$ : on réduit la longueur de diffusion.

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