thermodynamique : transferts thermiques (MPI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Problème : le fil électrique domestique, pourquoi la gaine en PVC le refroidit

Diffusion thermique · E. Conditions aux limites et transfert conducto-convectif · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un fil de cuivre de section $2, 5 m m^{2}$ (rayon $r_{1} = 0, 892 mm$ ), utilisé pour les prises de courant d'un logement, est gainé de PVC jusqu'au rayon $r_{2} = 1, 70 mm$ . Il est tendu à l'air libre, à $T_{a} = 30^{\circ} C$ . Pour ne pas vieillir trop vite, le PVC ne doit pas dépasser $70^{\circ} C$ . On raisonne par mètre de fil, en régime stationnaire.

Données : PVC, $λ = 0, 17 W m^{- 1} K^{- 1}$ ; cuivre, $λ_{Cu} = 390 W m^{- 1} K^{- 1}$ , résistivité électrique $ρ_{e} (T) = ρ_{20} [1 + α (T - 20^{\circ} C)]$ avec $ρ_{20} = 1, 72 \times 1 0^{- 8} Ω m$ et $α = 3, 93 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$ . Loi de Newton (donnée) : une surface à $T_{s}$ cède à l'air la densité de flux $j = h (T_{s} - T_{a})$ , avec $h = 20 W m^{- 2} K^{- 1}$ , coefficient global qui regroupe la convection naturelle et le rayonnement, supposé indépendant du rayon de la surface.

1) Le conducteur. Exprimer la puissance dissipée par mètre, $P^{'} = R_{el}^{'} I^{2}$ , et calculer $R_{el}^{'}$ à $70^{\circ} C$ . Par un bilan sur le cylindre de cuivre de rayon $r ⩽ r_{1}$ , montrer que $T_{axe} - T (r_{1}) = \frac{P ^{'}}{4 π λ _{Cu}}$ . Que vaut cet écart pour $P^{'} \approx 8 W m^{- 1}$ ? Conclure.

2) La gaine. Par un bilan sur la coquille de PVC $[r, r + d r]$ en régime stationnaire, montrer que le flux par mètre $Φ^{'}$ ne dépend pas de $r$ . Établir $T (r)$ dans le PVC et construire sa résistance linéique $R_{g}^{'}$ . Valeur ?

3) L'air. Montrer que la loi de Newton équivaut à une résistance linéique $R_{c}^{'} = \frac{1}{2 π r _{2} h}$ , en série avec $R_{g}^{'}$ . Calculer $R_{c}^{'}$ et la résistance totale. Comparer à la résistance $R_{n}^{'}$ d'un fil nu de rayon $r_{1}$ . Le résultat est-il surprenant ?

4) Le rayon critique. On fait varier le rayon extérieur $r_{2}$ de la gaine. Étudier $R^{'} (r_{2}) = \frac{ln ( r _{2} / r _{1} )}{2 π λ} + \frac{1}{2 π r _{2} h}$ et montrer qu'elle passe par un minimum en $r_{2} = r_{c}$ , à exprimer. Valeur ? Dans quel cas ajouter de l'isolant augmente-t-il les pertes ? Jusqu'à quel rayon de gaine le fil gainé reste-t-il mieux refroidi que le fil nu ?

5) L'intensité admissible. Le cuivre étant pratiquement à la température de la face intérieure du PVC, calculer la puissance par mètre et l'intensité maximales. Les tables d'installation électrique donnent environ $30 A$ pour ce conducteur à l'air libre : commenter. Calculer l'intensité admissible en fonction de $r_{2}$ pour $r_{2} = r_{1}$ (fil nu), $1, 70$ , $3$ , $5$ , $r_{c}$ , $15$ et $30 mm$ . À quelle température monterait un fil nu parcouru par l'intensité trouvée pour le fil gainé ? Pourquoi protège-t-on par un disjoncteur de $20 A$ les circuits de prises en $2, 5 m m^{2}$ encastrés dans les murs ?

6) Cas limites, validité, résultat. (a) Une conduite de vapeur de rayon $57 mm$ est calorifugée par de la laine minérale ( $λ = 0, 035 W m^{- 1} K^{- 1}$ ), à l'air calme ( $h = 10 W m^{- 2} K^{- 1}$ ) : l'isolant peut-il augmenter ses pertes ? (b) Établir le rayon critique d'une sphère. (c) Discuter l'hypothèse « $h$ indépendant du rayon ». Énoncer le résultat établi.

Corrigé

La stratégie. Le cuivre produit, le PVC conduit, l'air reçoit : trois milieux, trois bilans. Le cuivre se révèle isotherme ; le PVC est une résistance, construite sur une coquille ; l'air, une résistance de Newton, qui diminue quand la surface d'échange grandit. Épaissir la gaine ajoute de la résistance de conduction mais retire de la résistance de surface : la somme a un minimum.

1) Le conducteur est isotherme. À $70^{\circ} C$ , $ρ_{e} = 1, 72 \times 1 0^{- 8} \times (1 + 3, 93 \times 1 0^{- 3} \times 50) = 2, 06 \times 1 0^{- 8} Ω m$ et $R_{el}^{'} = \frac{ρ _{e}}{π r _{1}^{2}} = \frac{2 , 06 \times 1 0 ^{- 8}}{2 , 5 \times 1 0 ^{- 6}} = 8, 23 \times 1 0^{- 3} Ω m^{- 1} .$ Le cuivre est le siège de la puissance volumique uniforme $p = \frac{P ^{'}}{π r _{1}^{2}}$ . En régime stationnaire, le cylindre de rayon $r$ évacue par sa surface latérale ce qu'il produit : $2 π r j_{r} = p π r^{2}$ , $j_{r} = \frac{p r}{2}$ , et la loi de Fourier donne, comme pour toute source uniforme dans un cylindre, $T_{axe} - T (r_{1}) = \frac{p r _{1}^{2}}{4 λ _{Cu}} = \frac{P ^{'}}{4 π λ _{Cu}} = \frac{8}{4 π \times 390} = 1, 6 \times 1 0^{- 3} K .$ Le cuivre est isotherme à mieux qu'un centième de kelvin : toute la résistance est à l'extérieur.

2) La gaine, une résistance. Le PVC ne produit rien. En régime stationnaire, la coquille $[r, r + d r]$ cède par sa face extérieure ce qu'elle reçoit par sa face intérieure : $Φ^{'} = 2 π r j_{r}$ ne dépend pas de $r$ ( $Φ^{'} = P^{'}$ ). Fourier : $- λ 2 π r \frac{d T}{d r} = Φ^{'}$ , d'où $T (r) = T (r_{1}) - \frac{Φ ^{'}}{2 π λ} ln \frac{r}{r _{1}}, T (r_{1}) - T (r_{2}) = \frac{Φ ^{'}}{2 π λ} ln \frac{r _{2}}{r _{1}},$ un profil logarithmique, et par définition de la résistance : $R_{g}^{'} = \frac{ln ( r _{2} / r _{1} )}{2 π λ} = \frac{ln ( 1 , 70/0 , 892 )}{2 π \times 0 , 17} = 0, 60 K m W^{- 1} .$

3) L'air, une résistance qui dépend de la surface. Par mètre, la surface extérieure $2 π r_{2}$ cède $Φ^{'} = 2 π r_{2} h (T (r_{2}) - T_{a})$ : $T (r_{2}) - T_{a} = R_{c}^{'} Φ^{'}$ avec $R_{c}^{'} = \frac{1}{2 π r _{2} h} = \frac{1}{2 π \times 1 , 70 \times 1 0 ^{- 3} \times 20} = 4, 68 K m W^{- 1}$ . Le même flux traverse la gaine puis l'air : en série, $R^{'} = 0, 60 + 4, 68 = 5, 28 K m W^{- 1}$ . Fil nu : $R_{n}^{'} = \frac{1}{2 π r _{1} h} = 8, 92 K m W^{- 1}$ . Le fil gainé a une résistance 1,7 fois plus faible que le fil nu : à température égale, il évacue $1, 7$ fois plus de puissance. L'isolant refroidit le fil. Il ajoute $0, 60$ de conduction, mais il porte la surface d'échange de $r_{1}$ à $r_{2}$ et fait tomber la résistance de surface de $8, 92$ à $4, 68$ .

4) Le rayon critique. $\frac{d R ^{'}}{d r _{2}} = \frac{1}{2 π λ r _{2}} - \frac{1}{2 π h r _{2}^{2}} = \frac{1}{2 π r _{2}^{2}} (\frac{r _{2}}{λ} - \frac{1}{h}),$ négative pour $r_{2} < \frac{λ}{h}$ , positive au-delà : $R^{'}$ est minimale en $r_{c} = \frac{λ}{h} = \frac{0 , 17}{20} = 8, 5 mm .$ Si le rayon du fil est inférieur à $r_{c}$ , ajouter de l'isolant diminue d'abord la résistance, donc augmente les pertes, jusqu'à $r_{2} = r_{c}$ . La résistance revient à celle du fil nu, $R^{'} (r_{2}) = R_{n}^{'}$ , pour un rayon de gaine d'environ $12 m$ (résolution numérique) : à cause du logarithme, l'effet s'inverse très lentement, et toute gaine réaliste refroidit le fil.

5) L'intensité admissible. À la limite, $T (r_{1}) = 70^{\circ} C$ (le cuivre isotherme est à la température de la face intérieure du PVC) : $P^{'} = \frac{70 - 30}{5 , 28} = 7, 57 W m^{- 1}, I = \frac{P ^{'}}{R _{el}^{'}} = \frac{7 , 57}{8 , 23 \times 1 0 ^{- 3}} = 30, 3 A .$ C'est la valeur des tables : le modèle, avec un $h$ global de $20$ , est réaliste. La gaine ne porte que $7, 57 \times 0, 60 = 4, 6 K$ ; sa surface est à $65^{\circ} C$ . L'intensité admissible $I = \frac{40}{R _{el}^{'} R ^{'} ( r _{2} )}$ en fonction du rayon de la gaine :

$r_{2}$ ( $mm$ )	$0, 89$ (nu)	$1, 70$	$3$	$5$	$8, 5$ ( $r_{c}$ )	$15$	$30$
$R^{'}$ ( $K m W^{- 1}$ )	$8, 92$	$5, 28$	$3, 79$	$3, 21$	$3, 05$	$3, 17$	$3, 56$
$I_{m a x}$ ( $A$ )	$23, 3$	$30, 3$	$35, 8$	$38, 9$	$39, 9$	$39, 1$	$37, 0$

Un fil nu parcouru par $30, 3 A$ : sa température vérifie $T = T_{a} + R_{n}^{'} \frac{ρ _{e} ( T )}{π r _{1}^{2}} I^{2}$ ; en itérant à partir de $70^{\circ} C$ , on trouve $T = 105^{\circ} C$ (on aurait $97^{\circ} C$ sans la variation de $ρ_{e}$ : la résistance électrique croît avec la température et aggrave l'échauffement). Un fil encastré dans un conduit, au sein d'un mur, échange bien plus mal qu'à l'air libre (air confiné, plâtre isolant) : son $h$ effectif est plus faible, son intensité admissible aussi, d'où la protection à $20 A$ (qualitatif).

6) Cas limites, validité. (a) Conduite de vapeur : $r_{c} = \frac{0 , 035}{10} = 3, 5 mm$ , bien inférieur à $57 mm$ : on est d'emblée au-delà du minimum, et tout isolant réduit les pertes. (b) Sphère de rayon $r_{1}$ isolée jusqu'à $r_{2}$ : par le bilan sur une coquille sphérique, $R (r_{2}) = \frac{1}{4 π λ} (\frac{1}{r _{1}} - \frac{1}{r _{2}}) + \frac{1}{4 π r _{2}^{2} h}$ , et $\frac{d R}{d r _{2}} = \frac{1}{4 π λ r _{2}^{2}} - \frac{2}{4 π h r _{2}^{3}} = 0 ⟺ r_{c} = \frac{2 λ}{h},$ soit $17 mm$ pour du PVC dans l'air : la surface croît comme $r^{2}$ , plus vite qu'autour d'un cylindre. (c) $h$ dépend en réalité du diamètre : la convection naturelle autour d'un fil fin est plus efficace par unité de surface qu'autour d'un gros cylindre, et le rayonnement dépend de la température de surface. Le minimum se déplace, il ne disparaît pas : c'est le résultat d'un modèle à $h$ constant.

Le résultat obtenu — le rayon critique d'isolation. Un cylindre de rayon $r_{1}$ , entouré d'un isolant de conductivité $λ$ jusqu'au rayon $r_{2}$ et échangeant avec l'extérieur selon la loi de Newton (coefficient $h$ ), a une résistance thermique linéique $R^{'} (r_{2}) = \frac{ln ( r _{2} / r _{1} )}{2 π λ} + \frac{1}{2 π r _{2} h}$ , minimale pour $r_{2} = r_{c} = \frac{λ}{h}$ ( $\frac{2 λ}{h}$ pour une sphère). Si $r_{1} < r_{c}$ , ajouter de l'isolant augmente d'abord les pertes : la gaine d'un fil électrique le refroidit et augmente son intensité admissible ( $23$ A nu, $30$ A gainé pour $2, 5 m m^{2}$ ). Si $r_{1} > r_{c}$ , comme pour une conduite ou un réservoir, isoler réduit toujours les pertes.

Ce que le problème installe. Un système réel se découpe en milieux, chacun traité par le bon bilan : avec source sur un cylindre plein, sans source sur une coquille. Les résistances construites s'associent en série, et la résistance de Newton, inversement proportionnelle à la surface, peut l'emporter sur celle de l'isolant : d'où un optimum, trouvé en dérivant. Les cas limites (gros cylindre, sphère) disent quand l'effet existe ; les hypothèses ( $h$ constant) disent ce qui reste un modèle.

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