Dériver le signal d'un capteur : la condition porte sur le dernier harmonique

La stratégie. Dériver multiplie la raie $n$ par $jn\omega \tau$ ; le filtre la multiplie en plus par $\frac{1}{1+jn\omega \tau }$. Toute la question est : quelles raies faut-il bien dériver ?

1) Le créneau visé. Le triangle varie de $2\mathrm{V}$ en $5\mathrm{ms}$ : pentes $\pm a$, $a=400\mathrm{V}{\mathrm{s}}^{-1}$, et $\tau \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t}$ est un créneau $\pm a\tau$. Raie par raie, dériver $\frac{\sin (n\omega t)}{n^2}$ donne $\frac{\omega \cos (n\omega t)}{n}$ : les amplitudes passent de $1/n^2$ à $1/n$, celles d'un créneau, $\frac{8\omega \tau }{{\pi }^{2}n}=\frac{4a\tau }{\pi n}$.

2) La condition porte sur le dernier harmonique utile. La raie $n$ est bien dérivée si $\frac{1}{|1+jn\omega \tau |}\approx 1$, soit $nf\ll f_c$. Or les fronts du créneau sont faits des rangs élevés : un front de durée $t$ exige des raies jusqu'au rang $\approx 0,44/(tf)$ (loi du temps de montée des sommes partielles d'un créneau). La condition porte donc sur le dernier harmonique qui fait les fronts. Avec $f_c=10f$, le fondamental est dérivé à $0,5\%$ près, mais les fronts durent $4,7\%$ de la période.

3) Le calcul. $i=C\frac{\mathrm{d}(e-s)}{\mathrm{d}t}$ et $s=Ri$ donnent $\tau \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}+s=\tau \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t}=a\tau$. Partie de $-a\tau$, la sortie vaut $s=a\tau -2a\tau {\mathrm{e}}^{-t/\tau }$ : elle franchit $5\%$ du saut quand ${\mathrm{e}}^{-t/\tau }=0,95$, $95\%$ quand ${\mathrm{e}}^{-t/\tau }=0,05$ ; la transition dure $\tau \ln 19$. Donc $$\tau \le \frac{T}{100\ln 19}=34\mu \mathrm{s},f_c\ge 4,7\mathrm{kHz}=47f.$$ Rapport au dérivateur idéal, $1/\sqrt{1+(nf/f_c{)}^2}$ : $0,9998$ (rang 1), $0,974$ (rang 11), $0,677$ (rang 51). Les rangs voisins de $50$ sont à la coupure : ceux qu'exige un front de $1\%$ de la période ($0,44/0,01=44$).

4) Le prix. Paliers : $a\tau =400\times 34\cdot 10^{-6}=13,6\mathrm{mV}$, pour un signal d'entrée de $1\mathrm{V}$. Le bruit ($50\mathrm{kHz}=10,7f_c$) passe avec le gain $0,996$ ; le fondamental du triangle avec $0,021$. Rapport utile/bruit : $1000$ en entrée, $13,6/0,996\approx 14$ en sortie, divisé par 73. Un dérivateur multiplie chaque composante par sa fréquence : il favorise le bruit.

5) Cas limite $f_c\to \infty$. Dérivation parfaite à tous les rangs, mais $a\tau \to 0$ : le signal disparaît, le bruit passe entier. Pour connaître une vitesse, on préfère mesurer une accélération et l'intégrer : un intégrateur atténue les hautes fréquences.

Ce que l'exercice installe. Un passe-haut dérive les raies de fréquence $\ll f_c$ ; quand la dérivée a des sauts, il faut bien dériver jusqu'au dernier harmonique qui fait les fronts, d'où $f_c\approx 50f$ pour des fronts à $1\%$. Prix : un signal utile en $f/f_c$, un bruit transmis entier.