Du créneau à la sinusoïde : le filtre d'un onduleur de secours

La stratégie. La raie $n$ (impaire) sort avec l'amplitude $\frac{4E}{\pi n}H(nf)$, donc $${\tau }_d=\frac{1}{H(f)}\sqrt{\sum _{n\text{impair}\ge 3}(\frac{H(nf)}{n}{)}^2}.$$ Ce qui compte est l'atténuation des rangs 3, 5… relativement au fondamental : la pente du filtre entre $f$ et $3f$.

a) Aucun premier ordre ne convient. Quand $f_c\ll f$, toutes les raies sont en régime $H(nf)\approx \frac{f_c}{nf}$ : amplitudes en $1/n^2$, la sortie tend vers un triangle (le filtre intègre), d'où le plancher $${\tau }_d\to \sqrt{\sum _{n\text{impair}\ge 3}\frac{1}{n^4}}=\sqrt{\frac{{\pi }^4}{96}-1}=12,1\%,$$ avec un fondamental écrasé, $H(f)\approx f_c/f$. Abaisser la coupure d'un premier ordre ne rapproche pas indéfiniment la sortie d'une sinusoïde : elle tend vers un triangle. $H(3f)/H(f)$ ne descend jamais sous $1/3$.

b) Le second ordre. $x\ll 1$ : $\underline{H}\to 1$ ; $x\gg 1$ : $\underline{H}\approx -1/x^2$, $-40\mathrm{dB}$ par décade. Si $f_0\ll f$, amplitudes en $1/n^3$ : $${\tau }_d\to \sqrt{\frac{{\pi }^6}{960}-1}=3,8\%,$$ conforme, mais le fondamental est divisé par $(f/f_0{)}^2$.

c) L'accord. En $x=1$, $\underline{H}=\frac{1}{j/Q}$ : $H(f)=Q=1$, le fondamental passe entier. $H(3f)=\frac{1}{|-8+3j|}=0,117$, $H(5f)=\frac{1}{|-24+5j|}=0,041$ ; raies relatives $3,9\%$ et $0,8\%$ ; la somme complète donne ${\tau }_d=4,0\%$ : conforme. $\frac{4E}{\pi }=230\sqrt{2}\mathrm{V}$ donne $E=255\mathrm{V}$. Avec $R=\frac{230^2}{1000}=52,9\Omega$, $Q=1$ et $2\pi f_0=1/\sqrt{LC}$ : $$L=\frac{R}{2\pi f_{0}Q}=0,17\mathrm{H},C=\frac{Q}{2\pi f_{0}R}=60\mu \mathrm{F}.$$ Bobine lourde : les onduleurs réels découpent à quelques kilohertz, où les composants, en $1/f_0$, sont des dizaines de fois plus petits.

d) Le filtre dépend de sa charge. $Q\propto R$ et, à l'accord, la sortie au fondamental vaut $Q$ fois l'entrée. $R/2$ : $Q=0,5$, $115\mathrm{V}$ ; $2R$ : $Q=2$, $460\mathrm{V}$, dangereux ; à vide, $Q\to \infty$ : surtension limitée par les seules pertes.

e) Le passe-bande. Pour $Q$ grand, $H(nf)\approx \frac{n}{Q(n^2-1)}$ : raie relative $\frac{1}{Q(n^2-1)}$, ${\tau }_d\approx \frac{0,135}{Q}$, $Q\ge 2,7$ ($13,5$ pour $1\%$). Prix : à $Q=20$, une dérive de $2\%$ donne $H=[1+400(1,02-1/1,02{)}^2{]}^{-1/2}=0,78$ ; et le régime transitoire dure de l'ordre de $2Q/{\omega }_0=0,13\mathrm{s}$, plus de six périodes.

Ce que l'exercice installe. La distorsion se prévoit raie par raie ; ce qui compte est l'atténuation relative des harmoniques, donc la pente du filtre : un premier ordre plafonne à $12,1\%$ (sa sortie tend vers un triangle), un second ordre accordé descend à $4\%$. Prix : dépendance à la charge d'un filtre résonant, sensibilité à la fréquence d'un filtre sélectif.