traitement du signal et logique (MPI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

L'oscilloscope est un passe-bas : quelle bande passante pour voir un front ?

Signaux périodiques et filtrage linéaire · B. Filtrage linéaire : fonction de transfert · niveau 2

Énoncé

On observe un circuit numérique avec un oscilloscope « de bande passante $100 MHz$ ». La sonde et l'entrée sont modélisées par un passe-bas du premier ordre $H = \frac{1}{1 + j f / f _{BP}}$ , $f_{BP} = 100 MHz$ ; on note $τ = \frac{1}{2 π f _{BP}}$ . Réponse de ce filtre à un échelon unité : $1 - e^{- t / τ}$ .

1) Quelle amplitude l'oscilloscope affiche-t-il pour une sinusoïde de fréquence $f_{BP}$ ? Jusqu'à quelle fréquence l'erreur sur une sinusoïde reste-t-elle sous $3 %$ ?

2) Montrer qu'un échelon est affiché avec $t_{m} = \frac{ln 9}{2 π f _{BP}} \approx \frac{0 , 35}{f _{BP}}$ . Comparer à la loi $t_{m} \approx 0, 44/ f_{m a x}$ d'un spectre de créneau coupé net à $f_{m a x}$ .

3) Horloge carrée $0 / 3, 3 V$ à $25 MHz$ : que devient sa moyenne ? Gains et déphasages des raies 1, 3, 5 ? Quelle fraction de la demi-période occupent les fronts affichés ?

4) La même horloge à $100 MHz$ . Un élève prévoit une crête à crête affichée $H (f) \times 3, 3 = 2, 3 V$ . Réponse exacte en régime établi (donnée) : $3, 3 V \times tanh (\frac{T}{4 τ})$ . Conclure ; expliquer l'écart par le spectre.

5) Un front réel de $t_{s} = 1 ns$ : avec la règle (admise) $t_{aff}^{2} \approx t_{s}^{2} + t_{m}^{2}$ , que lit-on ? Quelle bande passante faut-il pour mesurer $t_{s}$ à $10 %$ près ?

6) Cas limite : une horloge à $1 GHz$ .

Corrigé

La stratégie. Pour une sinusoïde, tout est dans $H (f)$ ; un signal qui n'en est pas une se suit raie par raie, la moyenne passant avec $H (0)$ . Côté temps, la réponse indicielle relie bande passante et temps de montée.

1) Une sinusoïde. $H (f_{BP}) = 1/ 2$ : $29 %$ de moins. Erreur sous $3 %$ : $\frac{1}{1 + x ^{2}} \geq 0, 97$ , $x = f / f_{BP} \leq 0, 251$ : $f \leq 25 MHz$ , le quart de la bande annoncée.

2) Le temps de montée. $1 - e^{- t / τ}$ atteint $10 %$ en $τ ln \frac{1}{0 , 9}$ et $90 %$ en $τ ln 10$ : $t_{m} = τ ln 9 = \frac{0 , 350}{f _{BP}} = 3, 5 ns .$ Coupure progressive : $0, 35/ f_{BP}$ ; coupure nette : $0, 44/ f_{m a x}$ . Temps de montée × bande passante $\approx 0, 4$ : c'est la même loi.

3) Horloge à $25 MHz$ . La moyenne, $1, 65 V$ , passe intacte ( $H (0) = 1$ ). Raies à $x = 0, 25$ ; $0, 75$ ; $1, 25$ : $H = 0, 970 (- 1 4^{\circ})$ ; $0, 800 (- 3 7^{\circ})$ ; $0, 625 (- 5 1^{\circ})$ . Les rangs élevés sont atténués : fronts arrondis sur $3, 5 ns$ , $17, 5 %$ de la demi-période de $20 ns$ . Le créneau reste reconnaissable.

4) Horloge à $100 MHz$ : le piège. $\frac{T}{4 τ} = \frac{2 π f _{BP}}{4 f} = \frac{π}{2}$ et $tanh \frac{π}{2} = 0, 917$ : on lit $3, 03 V$ , $92 %$ de la vraie amplitude, et non $71 %$ . L'élève a appliqué à tout le signal le gain d'une seule raie. Raie par raie : le fondamental du créneau, d'amplitude $\frac{4}{π} \times 1, 65 V$ , plus grande que celle du créneau, donne à lui seul $0, 707 \times \frac{4}{π} \times 3, 3 = 0, 900 \times 3, 3 V$ crête à crête ; les harmoniques ajoutent $2 %$ . L'amplitude d'un signal non sinusoïdal n'est pas $H (f)$ fois la sienne. La forme, elle, est méconnaissable (arcs d'exponentielles, taux de distorsion $16 %$ au lieu de $48 %$ ) : une amplitude juste ne garantit pas qu'on voit le signal.

5) Mesurer $1 ns$ . $t_{aff} \approx 1^{2} + 3, 5^{2} = 3, 64 ns$ (une simulation donne $3, 66 ns$ ) : on mesure l'oscilloscope. Pour $t_{aff} \leq 1, 1 t_{s}$ : $t_{m} \leq 1, 1^{2} - 1 t_{s} = 0, 458 ns$ , donc $f_{BP} \geq 0, 350/0, 458 ns \approx 760 MHz$ .

6) Cas limite $1 GHz$ . $tanh (0, 157) = 0, 156$ : autour de la moyenne $1, 65 V$ , toujours exacte, un triangle de $0, 51 V$ crête à crête. Toutes les raies sont à $f \geq 10 f_{BP}$ , où $H \approx \frac{f _{BP}}{j f}$ : l'oscilloscope intègre la partie variable et transmet la moyenne.

Ce que l'exercice installe. Tout appareil est un filtre, et sa bande passante se lit en temps : $t_{m} \approx 0, 35/ f_{BP}$ . $H (f)$ ne dit l'amplitude que d'une sinusoïde ; le reste se suit raie par raie. Loin au-dessus de la coupure, un passe-bas transmet la moyenne et intègre le reste.

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