Coefficient et constante de temps d'un filtre récursif

Électronique numérique : échantillonnage et filtrage · niveau 2

Énoncé

On veut un passe-bas numérique de coupure $f_{c} = 50 H z$ , échantillonné à $f_{e} = 1 k H z$ . Déterminer le coefficient $a$ de $y [n] = a y [n - 1] + (1 - a) x [n]$ et la constante de temps $τ$ du circuit $R C$ équivalent. Une simulation donne un gain de $0, 66$ à $50 H z$ et une coupure réelle à $43, 8 H z$ : commenter.

Corrigé

On applique $a = \frac{1}{1 + 2 π f _{c} / f _{e}} = \frac{1}{1 + 2 π \cdot 50/1000} = \frac{1}{1 + 0 , 314} \approx 0, 761$ , et $b = 1 - a \approx 0, 239$ . De $a = τ / (τ + T_{e})$ on tire $τ = a T_{e} / (1 - a)$ ; avec $T_{e} = 1 m s$ ,

$τ = \frac{0 , 761 \times 1 0 ^{- 3}}{0 , 239} \approx 3, 18 m s,$

qui est bien $1/ (2 π \times 50)$ . Recalculer $f_{c} = 1/ (2 π τ)$ à partir de ce $τ$ redonnerait $50 H z$ par construction : ce n'est pas une vérification, seulement l'inversion de la formule qui a servi au réglage. La vraie vérification est la simulation : le gain à $50 H z$ vaut $0, 66$ au lieu de $1/ 2 = 0, 71$ , et la coupure à $- 3 d B$ est à $43, 8 H z$ , soit $12 %$ sous la valeur visée. L'analogie $R C$ suppose $f_{c} ≪ f_{e}$ , c'est-à-dire $τ ≫ T_{e}$ ; ici $τ = 3, 2 T_{e}$ seulement. Avec $f_{e} = 10 k H z$ , la même formule donnerait une coupure réelle à $49, 2 H z$ .