Deux diapasons à 3 Hz l'un de l'autre : durée, fréquence et nombre de points d'une acquisition

La stratégie. On traduit chaque réglage en trois nombres, $f_e=M/T_{\text{acq}}$, $f_N=f_e/2$ et $\Delta f=1/T_{\text{acq}}$, puis on confronte le spectre attendu (deux raies à $3\mathrm{Hz}$ l'une de l'autre, vers $440\mathrm{Hz}$) à ces deux limites : la finesse, qui doit être assez petite pour séparer les raies, et la fréquence de Nyquist, qui doit rester au-dessus d'elles.

1) Les battements. L'enveloppe s'annule trois fois par seconde : la période des battements vaut $1/3\mathrm{s}$. En effet, $\cos (2\pi f_{1}t)+\cos (2\pi f_{2}t)=2\cos (\pi (f_2-f_1)t)\cos (\pi (f_1+f_2)t)$ : une oscillation à $441,5\mathrm{Hz}$ dont l'amplitude $2|\cos (\pi \cdot 3t)|$ s'annule tous les $1/(f_2-f_1)=1/3\mathrm{s}$. Le temps « voit » l'écart de $3\mathrm{Hz}$ à condition d'observer au moins une période de battement, $1/3\mathrm{s}$ : c'est déjà la relation $\Delta f\cdot \Delta t\sim 1$.

2) Les réglages. Avec $T_{\text{acq}}=10\times$ base, $f_e=2500/T_{\text{acq}}$ :

3) Les spectres. À $20ms/div$, chaque raie est un pic large d'environ $5\mathrm{Hz}$ : les deux pics, distants de $3\mathrm{Hz}$, se confondent en une seule bosse vers $441,5\mathrm{Hz}$. L'acquisition, $0,2\mathrm{s}$, est plus courte qu'une période de battement : elle ne peut pas savoir qu'il y a deux sons. À $50ms/div$, les pics ont environ $2\mathrm{Hz}$ de large : deux raies, tout juste séparées, à $440$ et $443\mathrm{Hz}$. À $100ms/div$, deux raies bien séparées. À $500ms/div$, les raies sont très fines ($0,2\mathrm{Hz}$)… mais $f_N=250\mathrm{Hz}$ est sous les fréquences des diapasons : il y a repliement. Les fréquences apparentes valent $f_a=|f-f_e|$ : $500-440=60\mathrm{Hz}$ et $500-443=57\mathrm{Hz}$. On voit deux raies à $57$ et $60\mathrm{Hz}$, dans l'ordre inverse : le diapason le plus aigu donne la raie la plus basse. Le spectre le plus fin est aussi le plus faux.

Ces spectres d'amplitude sont calculés pour deux sons de même amplitude ; à $500ms/div$, la raie à $60\mathrm{Hz}$ vient du diapason à $440\mathrm{Hz}$ et celle à $57\mathrm{Hz}$ du diapason à $443\mathrm{Hz}$. La séparation à $T_{\text{acq}}$ voisin de $1/\delta f$, ici $1/3\mathrm{s}$, dépend même de la phase relative des deux sons à l'instant du déclenchement : selon le cas, on voit une bosse ou deux. À $1,5/\delta f$ ($0,5\mathrm{s}$), on voit toujours deux raies ; le critère sûr est $T_{\text{acq}}\gtrsim 2/\delta f$.

4) Le conflit à nombre de points fixé. $f_N=\frac{f_e}{2}=\frac{M}{2T_{\text{acq}}}$ : allonger l'acquisition pour affiner le spectre abaisse la fréquence de Nyquist. Les deux contraintes sont $T_{\text{acq}}\gtrsim 1/\delta f$, soit au moins $0,33\mathrm{s}$ (mieux : $0,67\mathrm{s}$), et $f_N=1250/T_{\text{acq}}>443\mathrm{Hz}$, soit $T_{\text{acq}}<2,8\mathrm{s}$. Parmi les bases usuelles (suite 1, 2, 5), $50$, $100$ et $200ms/div$ conviennent ; $100$ ou $200ms/div$ sont les choix sûrs. À $500ms/div$, il faudrait un filtre anti-repliement que l'oscilloscope n'a pas.

5) Le violon. Il faut $f_e>2\times 10\mathrm{kHz}$ et $T_{\text{acq}}\ge 1/(1\mathrm{Hz})=1\mathrm{s}$, donc $M=f_e{T}_{\text{acq}}>20000$ points. C'est huit fois la mémoire de cet oscilloscope : on passe à une carte d'acquisition (des millions de points), ou l'on renonce à une partie du spectre (filtrer à $1\mathrm{kHz}$ puis échantillonner plus lentement). Une règle à retenir : nombre de points $\ge 2f_{\max }/\delta f$, le rapport entre l'étendue et la finesse du spectre voulu.

6) Cas limite. Quand $\delta f\to 0$, la durée nécessaire $1/\delta f$ tend vers l'infini : deux sons presque accordés ne se séparent pas dans le spectre. Le musicien ne regarde pas de spectre : il écoute les battements ralentir, dans le temps, jusqu'à ce qu'ils disparaissent. Une période de battement d'une seconde signale un écart de $1\mathrm{Hz}$, que l'oreille juge très bien.

Ce que l'exercice installe. Une acquisition se règle par deux grandeurs : $f_e$, qui fixe l'étendue du spectre ($f_N=f_e/2$), et $T_{\text{acq}}$, qui fixe sa finesse ($\Delta f=1/T_{\text{acq}}$, forme de $\Delta f\cdot \Delta t\sim 1$). À nombre de points fixé, $f_N=M/(2T_{\text{acq}})$ : affiner le spectre rapproche le repliement. On choisit les paramètres d'une acquisition en vérifiant les deux conditions, puis on compte les points.