Séparer deux raies par le calcul : durée d'acquisition et zéros ajoutés

Le programme, pour une durée T et un nombre de points de calcul M :

import numpy as np
fe = 5000.0
def spectre(T, M=None):
    N = int(round(T*fe))
    t = np.arange(N) / fe
    x = np.cos(2*np.pi*440*t) + np.cos(2*np.pi*443*t)
    M = M or N
    X = np.fft.rfft(x, n=M)
    f = np.fft.rfftfreq(M, 1/fe)
    return f, 2*np.abs(X)/N    # division par N, pas par M

1. $N=0,2\times 5000=1000$, cases espacées de $f_e/N=5Hz$. Les cases voisines valent $0,97$ à $440Hz$ et $0,76$ à $445Hz$, puis $0,19$ et $0,22$ de part et d'autre : une seule raie, large. L'écart de $3Hz$ est plus petit que la résolution de $5Hz$, et $443Hz$ ne tombe pas sur une case ($88,6$ périodes dans la fenêtre) : sa fuite se mêle à la case de $440Hz$.

2. $N=5000$, cases espacées de $1Hz$ : deux raies nettes, d'amplitude $1,00$, à $440Hz$ et $443Hz$, et des zéros partout ailleurs. La fenêtre d'une seconde contient $440$ et $443$ périodes entières : aucune fuite.

3. Avec $M=25000$, les cases sont espacées de $f_e/M=0,2Hz$ et la courbe est lisse ; mais elle ne présente qu'un seul maximum, $1,01$ à $441,6Hz$, entre deux lobes secondaires (à $432,2$ et $450,8Hz$, hauteur $0,23$). Les zéros ont interpolé le spectre de la fenêtre de $0,2s$ ; ils n'ont rien ajouté à ce que contiennent les $1000$ échantillons. La largeur de la raie, environ $2/T_{\text{acq}}=10Hz$ entre ses premiers zéros, est celle de la fenêtre, et elle engloutit l'écart de $3Hz$.

4. Pour $0,5s$, $N=2500$, cases espacées de $2Hz$ : $1,02$ à $440Hz$, puis $0,64$ à $442$ et à $444Hz$. La lecture brute est ambiguë, car $443Hz$ ($221,5$ périodes) tombe entre deux cases. Complétée par des zéros jusqu'à $M=25000$, la courbe montre deux maxima, à $440,0Hz$ et $443,0Hz$ (hauteur $1,02$), séparés par un creux à $0,44$ : cette fois les zéros ont rendu lisible une séparation que les échantillons contenaient (figure).

{ Bâtons : cases de la TFD brute ; trait fin : TFD complétée par des zéros ($M=25000$) ; tirets : $440$ et $443Hz$.}

Conclusion. Ce qui sépare deux raies distantes de $\delta f$, c'est la durée d'acquisition : il faut $T_{\text{acq}}\gtrsim 1/\delta f$, ici un tiers de seconde, et $2/\delta f$ pour être à l'abri. À la limite $T_{\text{acq}}=1/\delta f$, le résultat dépend de la phase relative des deux sons au début de l'acquisition : en phase, deux maxima (à $439,4$ et $443,6Hz$) ; en opposition, un seul (à $441,4Hz$). Ce temps est aussi la période des battements : pour distinguer deux fréquences, il faut écouter au moins un battement. Les zéros ajoutés n'améliorent jamais la résolution ; ils affinent le tracé et aident à pointer un sommet.

Ce que l'exercice installe : la résolution d'une TFD est $1/T_{\text{acq}}$ et ne se gagne qu'en acquérant plus longtemps ; compléter par des zéros interpole sans séparer ; les amplitudes se normalisent par le nombre d'échantillons réels.